Самостоятельная работа: Sinad, sin I bapicarem. ④. Вышелете: a) 2 sin 15°c03.15° 6). 2 sin cos 5). (cos750 - sin 750)2 21. sin.cos +/ ⑨ Известно, что sint= 1/5, #L4LT. Hacigun as. Sin 2t 5). cos 2t b) Egit e) ctg 2 t ♡ Lt

Задание 4:

• a) Упростить выражение: 2sin(15°)cos(15°)

Используем формулу двойного угла для синуса: sin(2α) = 2sin(α)cos(α)

2sin(15°)cos(15°) = sin(2 \(\cdot\) 15°) = sin(30°)

sin(30°) = 1/2

• б) Упростить выражение: 2 sin \(\frac{π}{8}\) cos \(\frac{π}{8}\)

Используем формулу двойного угла для синуса: sin(2α) = 2sin(α)cos(α)

2 sin \(\frac{π}{8}\) cos \(\frac{π}{8}\) = sin(2 \(\cdot\) \(\frac{π}{8}\)) = sin(\( \frac{π}{4}\))

sin(\( \frac{π}{4}\)) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

• в) Упростить выражение: (cos(75°) - sin(75°))²

(cos(75°) - sin(75°))² = cos²(75°) - 2cos(75°)sin(75°) + sin²(75°)

Так как cos²(α) + sin²(α) = 1, выражение упрощается до:

1 - 2cos(75°)sin(75°) = 1 - sin(2 \(\cdot\) 75°) = 1 - sin(150°)

sin(150°) = sin(180° - 30°) = sin(30°) = 1/2

1 - 1/2 = 1/2

• г) Упростить выражение: sin \(\frac{π}{5}\) \(\cdot\) cos \(\frac{π}{5}\) + \(\frac{1}{4}\)

sin \(\frac{π}{5}\) \(\cdot\) cos \(\frac{π}{5}\) + \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{1}{2}\) \( \cdot\) 2 \(\cdot\) sin \(\frac{π}{5}\) \(\cdot\) cos \(\frac{π}{5}\) + \(\frac{1}{4}\)

= \(\frac{1}{2}\) \( \cdot\) sin(2 \(\cdot\) \(\frac{π}{5}\)) + \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{1}{2}\) sin(\( \frac{2π}{5}\)) + \(\frac{1}{4}\)

Задание 9:

Известно, что sin(t) = \(\frac{5}{13}\), \(\frac{π}{2}\) < t < π. Найти:

• а) sin(2t)
• б) cos(2t)
• в) tg(2t)
• г) ctg(2t)

Решение:

Так как sin(t) = \(\frac{5}{13}\) и \(\frac{π}{2}\) < t < π, то cos(t) будет отрицательным.

Найдем cos(t), используя основное тригонометрическое тождество: sin²(t) + cos²(t) = 1

cos²(t) = 1 - sin²(t) = 1 - (\(\frac{5}{13}\))² = 1 - \(\frac{25}{169}\) = \(\frac{144}{169}\)

cos(t) = -\(\frac{12}{13}\) (отрицательный, так как t во второй четверти)

• а) sin(2t) = 2sin(t)cos(t) = 2 \(\cdot\) \(\frac{5}{13}\) \(\cdot\) (-\(\frac{12}{13}\)) = -\(\frac{120}{169}\)
• б) cos(2t) = cos²(t) - sin²(t) = (-\(\frac{12}{13}\))² - (\(\frac{5}{13}\))² = \(\frac{144}{169}\) - \(\frac{25}{169}\) = \(\frac{119}{169}\)
• в) tg(2t) = \(\frac{sin(2t)}{cos(2t)}\) = \(\frac{-\frac{120}{169}}{\frac{119}{169}}\) = -\(\frac{120}{119}\)
• г) ctg(2t) = \(\frac{cos(2t)}{sin(2t)}\) = \(\frac{\frac{119}{169}}{-\frac{120}{169}}\) = -\(\frac{119}{120}\)

Задание 4:

• a) Упростить выражение: 2sin(15°)cos(15°)

Используем формулу двойного угла для синуса: sin(2α) = 2sin(α)cos(α)

2sin(15°)cos(15°) = sin(2 \(\cdot\) 15°) = sin(30°)

sin(30°) = 1/2

• б) Упростить выражение: 2 sin \(\frac{π}{8}\) cos \(\frac{π}{8}\)

Используем формулу двойного угла для синуса: sin(2α) = 2sin(α)cos(α)

2 sin \(\frac{π}{8}\) cos \(\frac{π}{8}\) = sin(2 \(\cdot\) \(\frac{π}{8}\)) = sin(\( \frac{π}{4}\))

sin(\( \frac{π}{4}\)) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

• в) Упростить выражение: (cos(75°) - sin(75°))²

(cos(75°) - sin(75°))² = cos²(75°) - 2cos(75°)sin(75°) + sin²(75°)

Так как cos²(α) + sin²(α) = 1, выражение упрощается до:

1 - 2cos(75°)sin(75°) = 1 - sin(2 \(\cdot\) 75°) = 1 - sin(150°)

sin(150°) = sin(180° - 30°) = sin(30°) = 1/2

1 - 1/2 = 1/2

• г) Упростить выражение: sin \(\frac{π}{5}\) \(\cdot\) cos \(\frac{π}{5}\) + \(\frac{1}{4}\)

sin \(\frac{π}{5}\) \(\cdot\) cos \(\frac{π}{5}\) + \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{1}{2}\) \( \cdot\) 2 \(\cdot\) sin \(\frac{π}{5}\) \(\cdot\) cos \(\frac{π}{5}\) + \(\frac{1}{4}\)

= \(\frac{1}{2}\) \( \cdot\) sin(2 \(\cdot\) \(\frac{π}{5}\)) + \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{1}{2}\) sin(\( \frac{2π}{5}\)) + \(\frac{1}{4}\)

Задание 9:

Известно, что sin(t) = \(\frac{5}{13}\), \(\frac{π}{2}\) < t < π. Найти:

• а) sin(2t)
• б) cos(2t)
• в) tg(2t)
• г) ctg(2t)

Решение:

Так как sin(t) = \(\frac{5}{13}\) и \(\frac{π}{2}\) < t < π, то cos(t) будет отрицательным.

Найдем cos(t), используя основное тригонометрическое тождество: sin²(t) + cos²(t) = 1

cos²(t) = 1 - sin²(t) = 1 - (\(\frac{5}{13}\))² = 1 - \(\frac{25}{169}\) = \(\frac{144}{169}\)

cos(t) = -\(\frac{12}{13}\) (отрицательный, так как t во второй четверти)

• а) sin(2t) = 2sin(t)cos(t) = 2 \(\cdot\) \(\frac{5}{13}\) \(\cdot\) (-\(\frac{12}{13}\)) = -\(\frac{120}{169}\)
• б) cos(2t) = cos²(t) - sin²(t) = (-\(\frac{12}{13}\))² - (\(\frac{5}{13}\))² = \(\frac{144}{169}\) - \(\frac{25}{169}\) = \(\frac{119}{169}\)
• в) tg(2t) = \(\frac{sin(2t)}{cos(2t)}\) = \(\frac{-\frac{120}{169}}{\frac{119}{169}}\) = -\(\frac{120}{119}\)
• г) ctg(2t) = \(\frac{cos(2t)}{sin(2t)}\) = \(\frac{\frac{119}{169}}{-\frac{120}{169}}\) = -\(\frac{119}{120}\)