Самостоятельная работа 4.2 Возрастание, убывание функции Вариант 2 А1. Построить график функции и найти промежутки возрастания и убывания функции: a) y = 3x - 4; б) y = -x²+2x+3. А2. По графику функции y=f(x), изображенному на рисунке определите: а) промежутки возрастания и убывания данной функции; б) ее наибольшее значение; в) нули функции.

Разберём каждое задание подробно.

А1. Построить график функции и найти промежутки возрастания и убывания функции:

а) $$y = 3x - 4$$

1. Функция $$y = 3x - 4$$ является линейной. Графиком линейной функции является прямая линия.
2. Для построения прямой достаточно двух точек. Выберем две произвольные точки, например:
3. Если $$x = 0$$, то $$y = 3 cdot 0 - 4 = -4$$. Получаем точку $$(0; -4)$$.
4. Если $$x = 2$$, то $$y = 3 cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2$$. Получаем точку $$(2; 2)$$.
5. Построим график функции, проходящий через точки $$(0; -4)$$ и $$(2; 2)$$.
6. Так как коэффициент при $$x$$ (то есть 3) больше нуля, то функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на $$(-\infty; +\infty)$$.

б) $$y = -x^2 + 2x + 3$$

1. Функция $$y = -x^2 + 2x + 3$$ является квадратичной. Графиком квадратичной функции является парабола.
2. Определим координаты вершины параболы. Абсцисса вершины параболы $$x_в$$ находится по формуле: $$x_в = -\frac{b}{2a}$$, где $$a = -1$$ и $$b = 2$$.
3. Тогда $$x_в = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{-2} = 1$$.
4. Ордината вершины параболы $$y_в$$ находится подстановкой $$x_в$$ в уравнение: $$y_в = -(1)^2 + 2 \cdot 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$$.
5. Итак, вершина параболы имеет координаты $$(1; 4)$$.
6. Определим точки пересечения графика с осью $$Ox$$, то есть нули функции.
7. Решим уравнение $$-x^2 + 2x + 3 = 0$$. Умножим обе части уравнения на -1: $$x^2 - 2x - 3 = 0$$.
8. По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = 2$$ и $$x_1 \cdot x_2 = -3$$. Отсюда $$x_1 = -1$$ и $$x_2 = 3$$.
9. Итак, график пересекает ось $$Ox$$ в точках $$(-1; 0)$$ и $$(3; 0)$$.
10. Так как коэффициент при $$x^2$$ (то есть -1) меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз.
11. Функция возрастает на промежутке от $$(-\infty; 1]$$, а убывает на промежутке от $$[1; +\infty)$$.

Ответ: функция возрастает на $$(-\infty; 1]$$, убывает на $$[1; +\infty)$$.

А2. По графику функции $$y = f(x)$$, изображенному на рисунке, определите:

а) промежутки возрастания и убывания данной функции;

1. По графику видно, что функция возрастает на промежутке $$(-\infty; 1]$$ и убывает на промежутке $$[1; +\infty)$$.

Ответ: функция возрастает на $$(-\infty; 1]$$, убывает на $$[1; +\infty)$$.

б) её наибольшее значение;

1. Наибольшее значение функция принимает в вершине параболы. По графику видно, что наибольшее значение функции равно 4.

Ответ: наибольшее значение равно 4.

в) нули функции.

1. Нули функции - это точки пересечения графика с осью $$Ox$$. По графику видно, что нули функции находятся в точках $$(-1; 0)$$ и $$(3; 0)$$.

Ответ: нули функции: -1 и 3.