Самостоятельная работа «Сложение и вычитание векторов» Вариант 4 1. Копируя векторы, изображенные на данном рисунке, построить: а) сумму векторов а+в по правилу треугольника, используя рис. а); б) сумму векторов а+в по правилу параллелограмма, используя рис. б); в) разность векторов а - в, используя рис. в). 2. Даны векторы (-2; 7) и (3; -5). Найти: а) координаты вектора а+б; а - б; 6) |а + б| ; |а - б|. 3. Используя правило многоугольника, упростите выражение: а) CB-CA-MK + BD-KD; 6) (AB + BC-DC) + (DK-MK) 4. Пусть АВ = 12, ВС = 5, угол В = 90°. Найдите величины | ВА – ВС| и |AB| + |BC| 5 (доп). Диагонали ромба ABCD равны 10 и 24. Найдите величину |DC – BẢ + CẢ - CB

Привет! Давай вместе решим эту самостоятельную работу. Уверена, у тебя всё получится!

Задание 2

Даны векторы \[\vec{a}(-2; 7)\] и \[\vec{b}(3; -5)\]

а) Найдем координаты вектора \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{a} - \vec{b}\)

Чтобы сложить два вектора, нужно сложить их соответствующие координаты:

\[\vec{a} + \vec{b} = (-2+3; 7+(-5)) = (1; 2)\]

Чтобы вычесть два вектора, нужно вычесть их соответствующие координаты:

\[\vec{a} - \vec{b} = (-2-3; 7-(-5)) = (-5; 12)\]

Ответ: \(\vec{a} + \vec{b} = (1; 2)\); \(\vec{a} - \vec{b} = (-5; 12)\)

б) Найдем \(|\vec{a} + \vec{b}|\) и \(|\vec{a} - \vec{b}|\)

Длина вектора находится по формуле:

\[|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\]

Тогда:

\[|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\] \[|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\]

Ответ: \(|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{5}\); \(|\vec{a} - \vec{b}| = 13\)

Задание 3

а) Упростим выражение \(\vec{CB} - \vec{CA} - \vec{MK} + \vec{BD} - \vec{KD}\)

\[\vec{CB} - \vec{CA} - \vec{MK} + \vec{BD} - \vec{KD} = \vec{CB} + \vec{AC} + \vec{KM} + \vec{BD} + \vec{DK} = (\vec{CB} + \vec{BD}) + (\vec{AC} + \vec{DK} + \vec{KM}) = \vec{CD} + (\vec{AM}) = \vec{AM} + \vec{CD}\]

Тут можно упростить, используя правило многоугольника. Внимательно следи за знаками и порядком векторов!

Ответ: \(\vec{AM} + \vec{CD}\)

б) Упростим выражение \((\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{DC}) + (\vec{DK} - \vec{MK})\)

\[(\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{DC}) + (\vec{DK} - \vec{MK}) = (\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}) + (\vec{DK} + \vec{KM}) = \vec{AD} + \vec{DM} = \vec{AM}\]

Ответ: \(\vec{AM}\)

Задание 4

Пусть \(AB = 12\), \(BC = 5\), угол \(B = 90^\circ\)

Найдем величины \(|\vec{BA} - \vec{BC}|\) и \(|AB| + |BC|\)

Т.к. угол B = 90°, то треугольник ABC - прямоугольный. \(|AB| + |BC| = 12 + 5 = 17\)

По теореме Пифагора найдем AC:

\[AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\] \[|\vec{BA} - \vec{BC}| = |\vec{CA}| = AC = 13\]

Ответ: \(|\vec{BA} - \vec{BC}| = 13\); \(|AB| + |BC| = 17\)

Задание 5

Диагонали ромба ABCD равны 10 и 24. Найдите величину \(|\vec{DC} - \vec{BA} + \vec{CA} - \vec{CB}|\)

\[|\vec{DC} - \vec{BA} + \vec{CA} - \vec{CB}| = |\vec{DC} + \vec{AB} + \vec{CA} + \vec{BC}| = |(\vec{DC} + \vec{CA}) + (\vec{AB} + \vec{BC})| = |\vec{DA} + \vec{AC}| = |\vec{DC}|\]

Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора найдем сторону ромба:

\[a = \sqrt{(\frac{10}{2})^2 + (\frac{24}{2})^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\]

Т.к. все стороны ромба равны, то \(|\vec{DC}| = 13\)

Ответ: 13

Ответ: смотри выше решения заданий

Молодец! Ты отлично справился с этой работой. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!