Самостоятельная работа «Решение задач с помощью систем уравнений» Вариант 1 №1. Сумма двух чисел равна 81, а их разность равна 15. Найдите эти числа. №2. Сумма двух чисел равна 36. Одно из них в 2 раза больше другого. Найдите эти числа. №3. Три тетради и две ручки стоят 99 руб. Ручка дороже тетради на 42 руб. Сколько стоит 1 ручка и одна тетрадь? №4. У Лены 8 монет по 10 руб. и по 5 руб. Сколько у нее десятирублевых и сколько пятирублевых монет, если всего у нее 65 руб.? №5. Тетрадь стоит 16 руб, а карандаш 4. руб. Саша купил несколько тетрадей и карандашей, заплатив за всю покупку 88 руб. Сколько тетрадей и сколько карандашей купил Саша, если за тетради он заплатил на 8 руб. больше, чем за карандаши?

№1

Логика такая: обозначим первое число за x, а второе за y. Составим систему уравнений:

\[\begin{cases} x + y = 81 \\ x - y = 15 \end{cases}\]

Сложим два уравнения:

\[2x = 96\]

\[x = 48\]

Теперь найдем y:

\[y = 81 - x = 81 - 48 = 33\]

Ответ: 48 и 33

№2

Смотри, тут всё просто: снова обозначим первое число за x, а второе за y. Известно, что одно число в 2 раза больше другого, значит:

\[\begin{cases} x + y = 36 \\ x = 2y \end{cases}\]

Подставим x во второе уравнение:

\[2y + y = 36\]

\[3y = 36\]

\[y = 12\]

Теперь найдем x:

\[x = 2y = 2 \cdot 12 = 24\]

Ответ: 24 и 12

№3

Разбираемся: пусть тетрадь стоит x рублей, а ручка y рублей. Составим систему уравнений:

\[\begin{cases} 3x + 2y = 99 \\ y = x + 42 \end{cases}\]

Подставим y во второе уравнение:

\[3x + 2(x + 42) = 99\]

\[3x + 2x + 84 = 99\]

\[5x = 15\]

\[x = 3\]

Теперь найдем y:

\[y = x + 42 = 3 + 42 = 45\]

Тогда одна ручка и одна тетрадь стоят:

\[x + y = 3 + 45 = 48\]

Ответ: 48 рублей

№4

Пусть у Лены x монет по 10 рублей и y монет по 5 рублей. Составим систему уравнений:

\[\begin{cases} x + y = 8 \\ 10x + 5y = 65 \end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения:

\[x = 8 - y\]

Подставим x во второе уравнение:

\[10(8 - y) + 5y = 65\]

\[80 - 10y + 5y = 65\]

\[-5y = -15\]

\[y = 3\]

Теперь найдем x:

\[x = 8 - y = 8 - 3 = 5\]

Ответ: 5 монет по 10 рублей и 3 монеты по 5 рублей

№5

Обозначим количество тетрадей за x, а количество карандашей за y. Известно, что тетрадь стоит 16 рублей, а карандаш 4 рубля. Составим систему уравнений:

\[\begin{cases} 16x + 4y = 88 \\ 16x - 4y = 8 \end{cases}\]

Сложим два уравнения:

\[32x = 96\]

\[x = 3\]

Теперь найдем y:

\[16 \cdot 3 + 4y = 88\]

\[48 + 4y = 88\]

\[4y = 40\]

\[y = 10\]

Ответ: 3 тетради и 10 карандашей