Самостоятельная работа по теме «ТТП и угол между прямой и плоскостью» Вариант 1 Из точки М проведён перпендикуляр МВ, равный 4 см, к плоскости прямоугольника ABCD. Наклонные МА и МС образуют с плоскостью прямоугольника углы 45° и 30° соответственно. а) Докажите, что треугольники MAD и MCD прямо- угольные. б)° Найдите стороны прямоугольника.

a) Докажем, что треугольники MAD и MCD прямоугольные.

Логика такая:

• MB – перпендикуляр к плоскости ABCD.
• BA – проекция наклонной MA на плоскость ABCD.
• BC – проекция наклонной MC на плоскость ABCD.

Угол между наклонной и плоскостью – это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость.

• ∠MAB = 45°
• ∠MCB = 30°

Так как ABCD – прямоугольник, то ∠ABC = 90°.

Рассмотрим треугольники MBA и MBC:

• MBA – прямоугольный (т.к. MB ⊥ AB).
• MBC – прямоугольный (т.к. MB ⊥ BC).

Докажем, что треугольники MAD и MCD прямоугольные, используя теорему о трех перпендикулярах:

Теорема о трех перпендикулярах: Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

• Т.к. AB ⊥ AD (ABCD – прямоугольник), то MA ⊥ AD.
• Т.к. BC ⊥ CD (ABCD – прямоугольник), то MC ⊥ CD.

Следовательно, треугольники MAD и MCD прямоугольные.

б) Найдем стороны прямоугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MBA:

• ∠MAB = 45°
• MB = 4 см

Т.к. ∠MAB = 45°, то ∠BAM = 90° - 45° = 45°. Следовательно, треугольник MBA – равнобедренный, и BA = MB = 4 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MBC:

• ∠MCB = 30°
• MB = 4 см

Используем тангенс угла MCB:

\[\tan(\angle MCB) = \frac{MB}{BC}\] \[\tan(30^\circ) = \frac{4}{BC}\]

Т.к. \(\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}\), то:

\[\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{4}{BC}\]

Выразим BC:

\[BC = \frac{4 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}\]

Итак, стороны прямоугольника:

• AB = 4 см
• BC = 4√3 см