Самостоятельная работа по теме «Объемы и поверхности тел вращения» Вариант 1 1. Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого равны соответственно 6 и 8, а второго — 4 и 6. Во сколько раз объём первого цилиндра больше объёма второго? 2. Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого равны соответственно 15 и 5, а второго — 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой поверхности второго? 3. Объём конуса равен 84π, а его высота равна 7. Найдите радиус основания конуса. 4. Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 6 и 5, а второго - 3 и 2. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго? 5. Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 7 и 9, а второго - 2 и 9. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой поверхности второго? 6. Даны два шара с радиусами 12 и 4. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего? 7. Даны два шара с радиусами 6 и 2. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

Вариант 1

1. Задача 1:

   Дано: два цилиндра, \(r_1 = 6\), \(h_1 = 8\), \(r_2 = 4\), \(h_2 = 6\). Найти: во сколько раз \(V_1 > V_2\).

   Решение:

   • Объём цилиндра: \(V = \pi r^2 h\).
   • \(\displaystyle \frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2} = \frac{6^2 \cdot 8}{4^2 \cdot 6} = \frac{36 \cdot 8}{16 \cdot 6} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 2} = 3\)

   Ответ: в 3 раза.

2. Задача 2:

   Дано: два цилиндра, \(r_1 = 15\), \(h_1 = 5\), \(r_2 = 2\), \(h_2 = 3\). Найти: во сколько раз \(S_{бок1} > S_{бок2}\).

   Решение:

   • Площадь боковой поверхности цилиндра: \(S_{бок} = 2 \pi r h\).
   • \(\displaystyle \frac{S_{бок1}}{S_{бок2}} = \frac{2 \pi r_1 h_1}{2 \pi r_2 h_2} = \frac{r_1 h_1}{r_2 h_2} = \frac{15 \cdot 5}{2 \cdot 3} = \frac{75}{6} = 12.5\)

   Ответ: в 12.5 раз.

3. Задача 3:

   Дано: конус, \(V = 84 \pi\), \(h = 7\). Найти: \(r\).

   Решение:

   • Объём конуса: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\).
   • \(84 \pi = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot 7\)
   • \(r^2 = \frac{84 \cdot 3}{7} = 12 \cdot 3 = 36\)
   • \(r = \sqrt{36} = 6\)

   Ответ: 6.

4. Задача 4:

   Дано: два конуса, \(r_1 = 6\), \(h_1 = 5\), \(r_2 = 3\), \(h_2 = 2\). Найти: во сколько раз \(V_1 > V_2\).

   Решение:

   • Объём конуса: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\).
   • \(\displaystyle \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1}{\frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2} = \frac{r_1^2 h_1}{r_2^2 h_2} = \frac{6^2 \cdot 5}{3^2 \cdot 2} = \frac{36 \cdot 5}{9 \cdot 2} = \frac{4 \cdot 5}{1 \cdot 2} = 10\)

   Ответ: в 10 раз.

5. Задача 5:

   Дано: два конуса, \(r_1 = 7\), \(l_1 = 9\), \(r_2 = 2\), \(l_2 = 9\). Найти: во сколько раз \(S_{бок1} > S_{бок2}\).

   Решение:

   • Площадь боковой поверхности конуса: \(S_{бок} = \pi r l\).
   • \(\displaystyle \frac{S_{бок1}}{S_{бок2}} = \frac{\pi r_1 l_1}{\pi r_2 l_2} = \frac{r_1 l_1}{r_2 l_2} = \frac{7 \cdot 9}{2 \cdot 9} = \frac{7}{2} = 3.5\)

   Ответ: в 3.5 раза.

6. Задача 6:

   Дано: два шара, \(r_1 = 12\), \(r_2 = 4\). Найти: во сколько раз \(V_1 > V_2\).

   Решение:

   • Объём шара: \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\).
   • \(\displaystyle \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{12^3}{4^3} = \frac{1728}{64} = 27\)

   Ответ: в 27 раз.

7. Задача 7:

   Дано: два шара, \(r_1 = 6\), \(r_2 = 2\). Найти: во сколько раз \(S_1 > S_2\).

   Решение:

   • Площадь поверхности шара: \(S = 4 \pi r^2\).
   • \(\displaystyle \frac{S_1}{S_2} = \frac{4 \pi r_1^2}{4 \pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{6^2}{2^2} = \frac{36}{4} = 9\)

   Ответ: в 9 раз.