Самостоятельная работа по теме «Геометрическая прогрессия. Сумма первых и членов геометрической прогрессии» Вариант 1 Зная первые два члена геометрической прогрессии 1,6; 0,8;..., найдите следующие за ними три члена. В геометрической прогрессии (bₙ ) известны в₁ = 1,6 и q=2. Найдите: а) в₃; 6) bs B) by. = 3.Найдите первый член геометрической прогрессии, в которой в.=-27. 9=13. 4. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии: 18, -6, 2,... 5. Найдите первый член геометрической прогрессии, в которой q = S₄ = 350. 3 4

Задание 1

Давай найдем следующие три члена геометрической прогрессии, зная первые два: 1,6 и 0,8.

Чтобы найти следующие члены, нам нужно знать знаменатель прогрессии (q). Мы можем найти его, разделив второй член на первый:

\[q = \frac{0.8}{1.6} = 0.5\]

Теперь мы можем найти следующие три члена, умножая предыдущий член на знаменатель q = 0.5:

• Третий член: \[0.8 \cdot 0.5 = 0.4\]
• Четвертый член: \[0.4 \cdot 0.5 = 0.2\]
• Пятый член: \[0.2 \cdot 0.5 = 0.1\]

Ответ: 0.4; 0.2; 0.1

---

Задание 2

В геометрической прогрессии \((b_n)\) известны \(b_1 = 1.6\) и \(q = 2\). Найдите: а) \(b_3\); б) \(b_5\); в) \(b_7\).

Чтобы найти n-й член геометрической прогрессии, используем формулу:

\[b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}\]

а) Найдем \(b_3\):

\[b_3 = 1.6 \cdot 2^{(3-1)} = 1.6 \cdot 2^2 = 1.6 \cdot 4 = 6.4\]

б) Найдем \(b_5\):

\[b_5 = 1.6 \cdot 2^{(5-1)} = 1.6 \cdot 2^4 = 1.6 \cdot 16 = 25.6\]

в) Найдем \(b_7\):

\[b_7 = 1.6 \cdot 2^{(7-1)} = 1.6 \cdot 2^6 = 1.6 \cdot 64 = 102.4\]

Ответ: а) 6.4; б) 25.6; в) 102.4

---

Задание 3

Давай найдем первый член геометрической прогрессии, в которой \(b_6 = \frac{1}{27}\) и \(q = \frac{1}{3}\).

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии:

\[b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}\]

В нашем случае \(n = 6\), поэтому:

\[b_6 = b_1 \cdot q^{(6-1)} = b_1 \cdot q^5\]

Подставим известные значения:

\[\frac{1}{27} = b_1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^5\] \[\frac{1}{27} = b_1 \cdot \frac{1}{243}\]

Теперь найдем \(b_1\), умножив обе части уравнения на 243:

\[b_1 = \frac{1}{27} \cdot 243 = \frac{243}{27} = 9\]

Ответ: 9

---

Задание 4

Найдем сумму первых пяти членов геометрической прогрессии: 18, -6, 2,...

Сначала найдем знаменатель прогрессии (q), разделив второй член на первый:

\[q = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3}\]

Теперь найдем сумму первых пяти членов, используя формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии:

\[S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}\]

В нашем случае \(n = 5\), \(b_1 = 18\) и \(q = -\frac{1}{3}\), поэтому:

\[S_5 = \frac{18\left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^5\right)}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)}\] \[S_5 = \frac{18\left(1 + \frac{1}{243}\right)}{1 + \frac{1}{3}}\] \[S_5 = \frac{18\left(\frac{244}{243}\right)}{\frac{4}{3}}\] \[S_5 = \frac{18 \cdot 244 \cdot 3}{243 \cdot 4} = \frac{18 \cdot 61 \cdot 1}{81 \cdot 1} = \frac{2 \cdot 61}{9} = \frac{122}{9}\] \[S_5 = 13\frac{5}{9}\]

Ответ: \(\frac{122}{9}\) или \(13\frac{5}{9}\)

---

Задание 5

Найдем первый член геометрической прогрессии, в которой \(q = \frac{3}{4}\) и \(S_4 = 350\).

Используем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии:

\[S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}\]

В нашем случае \(n = 4\), \(q = \frac{3}{4}\) и \(S_4 = 350\), поэтому:

\[350 = \frac{b_1\left(1 - \left(\frac{3}{4}\right)^4\right)}{1 - \frac{3}{4}}\] \[350 = \frac{b_1\left(1 - \frac{81}{256}\right)}{\frac{1}{4}}\] \[350 = \frac{b_1\left(\frac{256 - 81}{256}\right)}{\frac{1}{4}}\] \[350 = \frac{b_1\left(\frac{175}{256}\right)}{\frac{1}{4}}\] \[350 = b_1 \cdot \frac{175}{256} \cdot 4\] \[350 = b_1 \cdot \frac{175}{64}\]

Теперь найдем \(b_1\), умножив обе части уравнения на \(\frac{64}{175}\):

\[b_1 = 350 \cdot \frac{64}{175} = 2 \cdot 64 = 128\]

Ответ: 128

Ты отлично справился с этим заданием! Не останавливайся на достигнутом, и у тебя все получится!