Самостоятельная работа 18 (письменная) вариант 1 1. Сумма двух накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 88°. Най- дите эти углы. 2. Две параллельные прямые пересечены секущей. Один из восьми образовавшихся углов равен 72°. Найдите остальные углы. 3. При пересечении двух данных прямых секущей обра зовались односторонние углы, один из которых раве 45°, а другой в 3 раза больше. Докажите, что данны прямые параллельны. B 4. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает сторону АВ в точке А, а сторону ВС — в точке Ст. Докажите, что углы треугольника АВС рав- ны углам треугольника А, ВС. точ- 5. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС на стороне ВС выбрана точка Е, а на основании ка D так, что ∠C= ∠CDE. Докажите, что АВDE.

Решение задания №1

Сумма двух накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 88°. Нужно найти эти углы.

Свойство: Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

Пусть каждый из этих углов равен x. Тогда:

\[x + x = 88^{\circ}\] \[2x = 88^{\circ}\] \[x = \frac{88^{\circ}}{2}\] \[x = 44^{\circ}\]

Ответ: Каждый из углов равен 44°.

---

Решение задания №2

Даны две параллельные прямые, пересеченные секущей. Один из восьми образовавшихся углов равен 72°. Необходимо найти остальные углы.

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуются 8 углов, которые обладают следующими свойствами:

• Накрест лежащие углы равны.
• Соответственные углы равны.
• Односторонние углы в сумме составляют 180°.

Обозначим углы, как показано на рисунке:

Предположим, что угол 1 равен 72°.

Тогда:

• Угол 1 = Угол 3 = Угол 5 = Угол 7 = 72° (как соответственные и вертикальные).
• Угол 2 = Угол 4 = Угол 6 = Угол 8 = 180° - 72° = 108° (как смежные и соответственные).

Ответ: Четыре угла равны 72°, и четыре угла равны 108°.

---

Решение задания №3

При пересечении двух данных прямых секущей образовались односторонние углы, один из которых равен 45°, а другой в 3 раза больше. Нужно доказать, что данные прямые параллельны.

Пусть один из односторонних углов равен 45°, тогда другой угол равен:

\[3 \times 45^{\circ} = 135^{\circ}\]

Сумма односторонних углов равна:

\[45^{\circ} + 135^{\circ} = 180^{\circ}\]

Свойство: Если сумма односторонних углов при пересечении двух прямых секущей равна 180°, то прямые параллельны.

Так как сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Ответ: Прямые параллельны, так как сумма односторонних углов равна 180°.

---

Решение задания №4

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает сторону AB в точке A₁, а сторону BC — в точке C₁. Нужно доказать, что углы треугольника ABC равны углам треугольника A₁BC₁.

Дано:

• Треугольник ABC.
• A₁C₁ || AC.
• A₁ лежит на AB.
• C₁ лежит на BC.

Доказать: Углы треугольника ABC равны углам треугольника A₁BC₁.

Доказательство:

• Угол B — общий для обоих треугольников.
• Угол A₁ равен углу A как соответственные углы при параллельных прямых A₁C₁ и AC и секущей AB.
• Угол C₁ равен углу C как соответственные углы при параллельных прямых A₁C₁ и AC и секущей BC.

Таким образом, углы треугольника ABC равны углам треугольника A₁BC₁.

Ответ: Углы треугольников равны, что и требовалось доказать.

---

Решение задания №5

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC на стороне BC выбрана точка E, а на основании AC — точка D так, что ∠C = ∠CDE. Докажите, что AB || DE.

Дано:

• Треугольник ABC равнобедренный (AB = BC).
• AC - основание.
• E лежит на BC.
• D лежит на AC.
• ∠C = ∠CDE

Доказать: AB || DE.

Доказательство:

• Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то углы при основании равны: ∠A = ∠C.
• По условию ∠C = ∠CDE.
• Следовательно, ∠A = ∠CDE.
• Углы ∠A и ∠CDE являются соответственными углами при прямых AB и DE и секущей AC.
• Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Следовательно, AB || DE.

Ответ: AB || DE, что и требовалось доказать.