Контрольные задания > Самостоятельная работа «Комплексные числа». 1 вариант 1. Укажите числа, сопряжённые заданным комплексным числам. z₁ = 2-3i, z₂ = 1 + i. 2. Определите модуль указанного комплексного числа z₃ = 5 + 2i. 3. Произведите операции (сложение, вычитание, умножение и деление) с представленными комплексными числами в алгебраическом виде z4 = 3 - 4i, z5 = 6 + 7i. 4. Определить длину, аргумент каждого комплексного числа и представить данные комплексные числа в тригонометрической и показательной форме z6 = 4-4i, z7 = −1 + √3i. 5. Вычислите z3. 6. Найдите корни заданного уравнения х² + 5x + 7 = 0.
Вопрос:

Самостоятельная работа «Комплексные числа». 1 вариант 1. Укажите числа, сопряжённые заданным комплексным числам. z₁ = 2-3i, z₂ = 1 + i. 2. Определите модуль указанного комплексного числа z₃ = 5 + 2i. 3. Произведите операции (сложение, вычитание, умножение и деление) с представленными комплексными числами в алгебраическом виде z4 = 3 - 4i, z5 = 6 + 7i. 4. Определить длину, аргумент каждого комплексного числа и представить данные комплексные числа в тригонометрической и показательной форме z6 = 4-4i, z7 = −1 + √3i. 5. Вычислите z3. 6. Найдите корни заданного уравнения х² + 5x + 7 = 0.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Привет! Сейчас мы вместе решим эту самостоятельную работу по комплексным числам. Не переживай, все получится!

1. Сопряжённые числа

Сопряжённое число получается изменением знака у мнимой части.
  • Для z₁ = 2 - 3i сопряжённое число z₁̄ = 2 + 3i.
  • Для z₂ = 1 + i сопряжённое число z₂̄ = 1 - i.

Ответ: z₁̄ = 2 + 3i, z₂̄ = 1 - i

Отлично, первый шаг сделан! Переходим ко второму.

2. Модуль комплексного числа

Модуль комплексного числа z = a + bi определяется как |z| = √(a² + b²).
Для z₃ = 5 + 2i модуль |z₃| = √(5² + 2²) = √(25 + 4) = √29.

Ответ: |z₃| = √29

Замечательно, модуль найден! Теперь двигаемся дальше.

3. Операции с комплексными числами

z₄ = 3 - 4i, z₅ = 6 + 7i.
  • Сложение: z₄ + z₅ = (3 - 4i) + (6 + 7i) = (3 + 6) + (-4 + 7)i = 9 + 3i.
  • Вычитание: z₄ - z₅ = (3 - 4i) - (6 + 7i) = (3 - 6) + (-4 - 7)i = -3 - 11i.
  • Умножение: z₄ * z₅ = (3 - 4i)(6 + 7i) = 3*6 + 3*7i - 4i*6 - 4i*7i = 18 + 21i - 24i - 28i² = 18 - 3i + 28 = 46 - 3i.
  • Деление: z₄ / z₅ = (3 - 4i) / (6 + 7i) = ((3 - 4i)(6 - 7i)) / ((6 + 7i)(6 - 7i)) = (18 - 21i - 24i + 28i²) / (36 + 49) = (18 - 45i - 28) / 85 = (-10 - 45i) / 85 = -2/17 - 9/17i.

Ответ: z₄ + z₅ = 9 + 3i, z₄ - z₅ = -3 - 11i, z₄ * z₅ = 46 - 3i, z₄ / z₅ = -2/17 - 9/17i

Прекрасно, с операциями разобрались! Продолжаем.

4. Длина, аргумент и представление в тригонометрической и показательной форме

z₆ = 4 - 4i, z₇ = -1 + √3i.

Для z₆ = 4 - 4i:

  • Длина: |z₆| = √(4² + (-4)²) = √(16 + 16) = √32 = 4√2.
  • Аргумент: arg(z₆) = arctan(-4/4) = arctan(-1) = -π/4 (или 7π/4).
  • Тригонометрическая форма: z₆ = 4√2(cos(-π/4) + i sin(-π/4)).
  • Показательная форма: z₆ = 4√2 * e^(-iπ/4).

Для z₇ = -1 + √3i:

  • Длина: |z₇| = √((-1)² + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2.
  • Аргумент: arg(z₇) = arctan(√3 / -1) = arctan(-√3) = 2π/3.
  • Тригонометрическая форма: z₇ = 2(cos(2π/3) + i sin(2π/3)).
  • Показательная форма: z₇ = 2 * e^(i2π/3).

Ответ: z₆ = 4√2 * e^(-iπ/4), z₇ = 2 * e^(i2π/3)

Отлично, тригонометрическая и показательная формы найдены! Осталось немного.

5. Вычисление z₇³

z₇ = -1 + √3i = 2 * e^(i2π/3).
z₇³ = (2 * e^(i2π/3))³ = 2³ * e^(i2π) = 8 * (cos(2π) + i sin(2π)) = 8 * (1 + 0i) = 8.

Ответ: z₇³ = 8

Почти финиш! Остался последний пункт.

6. Корни уравнения x² + 5x + 7 = 0

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
D = b² - 4ac = 5² - 4 * 1 * 7 = 25 - 28 = -3.
x₁ = (-b + √D) / 2a = (-5 + √(-3)) / 2 = (-5 + i√3) / 2 = -5/2 + i√3/2.
x₂ = (-b - √D) / 2a = (-5 - √(-3)) / 2 = (-5 - i√3) / 2 = -5/2 - i√3/2.

Ответ: x₁ = -5/2 + i√3/2, x₂ = -5/2 - i√3/2

Ура! Мы решили все задания. Ты молодец! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!
ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю