Самостоятельная работа 7 класс І вариант «Свойства равнобедренного треугольника» 1. Периметр равнобедренного треугольника равен 34 см. Найдите стороны треугольни- ка, если его основание на 2 см меньше боковой стороны. 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС = 12 см отрезок ВК биссектриса, угол АВК равен 35°. Найдите КС, угол АВС, угол ВКС. 3. На основании КМ равнобедренного треугольника КВМ отмечены точки С и Т так, что КС = МТ. Докажите, что a) ДКВС = ∆ΜΒΤ; б) ДСВТ – равнобедренный. 4*. В равнобедренном треуголь- нике АВС с основанием АС на медиане BD выбрана точ- ка М. Докажите равенство треугольников АВМ и Свм.

I Вариант

1. Периметр равнобедренного треугольника равен 34 см. Найдите стороны треугольника, если его основание на 2 см меньше боковой стороны.

Пусть x см - боковая сторона, тогда (x-2) см - основание. Периметр равен сумме длин всех сторон.

$$x + x + (x-2) = 34$$

$$3x - 2 = 34$$

$$3x = 36$$

$$x = 12$$

Боковая сторона равна 12 см, основание 12 - 2 = 10 см

Ответ: 12 см, 12 см, 10 см.

---

2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС = 12 см отрезок ВК биссектриса, угол АВК равен 35°. Найдите КС, угол АВС, угол ВКС.

ВК - биссектриса, значит угол АВК = углу СВК = 35°, тогда угол АВС = угол АВК + угол СВК = 35° + 35° = 70°.

Рассмотрим треугольник АВК: угол ВАК = углу ВСА (углы при основании равнобедренного треугольника). Сумма углов треугольника равна 180°.

Угол ВКА = 180° - (угол АВК + угол ВАК) = 180° - (35° + углу ВАК)

2 * угол ВАК + 70° = 180°

2 * угол ВАК = 110°

угол ВАК = 55° = углу ВСА

Угол ВКА = 180° - (35° + 55°) = 180° - 90° = 90°

КС = АС/2 = 12/2 = 6 см, так как ВК - биссектриса, а значит и медиана в равнобедренном треугольнике.

Ответ: КС = 6 см, угол АВС = 70°, угол ВКС = 90°

---

3. На основании КМ равнобедренного треугольника КВМ отмечены точки С и Т так, что КС = МТ. Докажите, что a) ДКВС = ∆ΜΒΤ; б) ДСВТ – равнобедренный.

а) Рассмотрим треугольники КВС и МВТ.

По условию задачи КС = МТ, ВК = ВМ (боковые стороны равнобедренного треугольника), углы при основании КМ равны, то есть угол ВКС = углу ВМТ.

Следовательно, треугольники КВС и МВТ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

б) Так как треугольники КВС и МВТ равны, то СВ = ВТ, а значит треугольник СВТ - равнобедренный.

Ответ: доказано

---

4*. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС на медиане BD выбрана точка М. Докажите равенство треугольников АВМ и СВМ.

Рассмотрим треугольники АВМ и СВМ.

ВМ - общая сторона, АВ = ВС (как боковые стороны равнобедренного треугольника), АD = DC (так как ВD - медиана).

Так как BD - медиана, то она является и высотой, значит угол BDA = углу BDC = 90°.

AM = MC (так как медиана является высотой)

Треугольники АВМ и СВМ равны по трем сторонам.

Ответ: доказано