Самостоятельная работа № 14 по теме «Геометрические тела»

Решение:

№1

Дано:

Квадрат со стороной \( a = 4 \) см.

Точка \( O \) равноудалена от всех вершин квадрата.

Расстояние от \( O \) до точки пересечения диагоналей \( K \) равно \( OK = 6 \) см.

Найти:

Расстояние от точки \( O \) до вершин квадрата \( OA = OB = OC = OD \).

Ход решения:

1. Точка, равноудаленная от всех вершин квадрата, является центром описанной окружности. Центром описанной окружности квадрата является точка пересечения его диагоналей.
2. Пусть \( K \) — точка пересечения диагоналей квадрата \( ABCD \). Тогда \( OK = 6 \) см.
3. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и делятся пополам.
4. Половина диагонали квадрата \( AK = BK = CK = DK = \frac{1}{2} d \), где \( d \) — длина диагонали.
5. Длина диагонали квадрата \( d = a \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} \) см.
6. Тогда \( AK = BK = CK = DK = \frac{1}{2} \cdot 4 \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \) см.
7. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( OKA \). \( OA^2 = OK^2 + AK^2 \) (по теореме Пифагора).
8. \( OA^2 = 6^2 + (2\sqrt{2})^2 = 36 + (4 \times 2) = 36 + 8 = 44 \).
9. \( OA = \sqrt{44} = \sqrt{4 \times 11} = 2\sqrt{11} \) см.
10. Расстояние от точки \( O \) до любой вершины квадрата равно \( 2\sqrt{11} \) см.

Ответ: \( 2\sqrt{11} \) см.

№2

Дано:

Прямоугольный треугольник.

Гипотенуза \( c = 17 \) см.

Один из катетов \( a = 8 \) см.

Треугольник вращается вокруг своего большего катета.

Найти:

Площадь поверхности тела вращения.

Ход решения:

1. Сначала найдём второй катет \( b \) по теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
2. \( 8^2 + b^2 = 17^2 \)
3. \( 64 + b^2 = 289 \)
4. \( b^2 = 289 - 64 = 225 \)
5. \( b = \sqrt{225} = 15 \) см.
6. Больший катет равен \( b = 15 \) см. Треугольник вращается вокруг катета \( b \).
7. При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов образуется конус.
8. Радиус основания конуса \( r \) равен другому катету, то есть \( r = a = 8 \) см.
9. Высота конуса \( h \) равна катету, вокруг которого происходит вращение, то есть \( h = b = 15 \) см.
10. Образующая конуса \( l \) равна гипотенузе треугольника, то есть \( l = c = 17 \) см.
11. Площадь поверхности конуса складывается из площади основания и площади боковой поверхности: \( S = S_{осн} + S_{бок} \).
12. Площадь основания \( S_{осн} = \pi r^2 \).
13. Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = \pi r l \).
14. \( S = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l) \).
15. Подставим значения: \( S = \pi \cdot 8 \cdot (8 + 17) = \pi \cdot 8 \cdot 25 = 200\pi \) см².

Ответ: \( 200\pi \) см².