САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 10 Средняя линия треугольника Вариант 1 1. Периметр треугольника равен 38 дм. Найдите пери- метр треугольника, составленного из средних линий заданного треугольника. 2. Точка пересечения диагоналей прямоугольника уда- лена от одной его стороны на расстояние, равное 18 см. Найдите другую сторону прямоугольника. 3. Средняя линия равнобедренного треугольника, па- раллельная основанию, равна 2 м, а боковая сторона треугольника равна 7 м. Найдите периметр треуголь- ника. Вариант 2 = 9 дм, 1. В треугольнике MNP MN = 8 дм, №Р MP = 10 дм. Точки А, В, С являются серединами сто- рон треугольника. Найдите периметр треугольника ABC. 2. В параллелограмме MNPQ точка S пересечения диа- гоналей соединена с серединой R стороны ММ. Най- дите периметр параллелограмма, если RS = 5 см, NR = 2 см. 3. Средняя линия равнобедренного треугольника, па- раллельная основанию, равна 5 м. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 50 м.

Вариант 1

1. Периметр треугольника, составленного из средних линий

Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Следовательно, стороны нового треугольника в два раза меньше сторон исходного.

Тогда периметр треугольника, составленного из средних линий, также будет в два раза меньше периметра заданного треугольника.

Периметр нового треугольника: \[ P = \frac{38}{2} = 19 \text{ дм} \]

2. Другая сторона прямоугольника

Точка пересечения диагоналей прямоугольника является серединой каждой диагонали. Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны прямоугольника равно половине этой стороны.

Следовательно, данное расстояние (18 см) равно половине искомой стороны.

Длина другой стороны прямоугольника: \[ 18 \cdot 2 = 36 \text{ см} \]

3. Периметр равнобедренного треугольника

Средняя линия, параллельная основанию, равна половине основания.

Основание треугольника: \[ 2 \cdot 2 = 4 \text{ м} \]

Периметр треугольника: \[ P = 4 + 7 + 7 = 18 \text{ м} \]

Вариант 2

1. Периметр треугольника ABC

Точки A, B, C — середины сторон треугольника MNP, значит, ABC — треугольник, составленный из средних линий треугольника MNP. Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна.

• AB = 1/2 NP = 9/2 = 4.5 дм
• BC = 1/2 MN = 8/2 = 4 дм
• AC = 1/2 MP = 10/2 = 5 дм

Периметр треугольника ABC: \[ P = 4.5 + 4 + 5 = 13.5 \text{ дм} \]

2. Периметр параллелограмма MNPQ

В параллелограмме MNPQ точка S — точка пересечения диагоналей, значит, S делит диагонали пополам. Так как R — середина стороны MN, то RS — средняя линия треугольника MNQ.

Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Следовательно, MN = 2RS = 2 \cdot 5 = 10 см.

Так как NR = 2 см, то MQ = 2NR = 2 \cdot 2 = 4 см.

Периметр параллелограмма: \[ P = 2(MN + MQ) = 2(10 + 4) = 28 \text{ см} \]

3. Стороны равнобедренного треугольника

Средняя линия, параллельная основанию, равна половине основания.

Основание треугольника: \[ 5 \cdot 2 = 10 \text{ м} \]

Пусть боковая сторона равна x м. Тогда периметр: \[ P = 10 + x + x = 50 \]

Решаем уравнение: \[ 2x = 40 \], \[ x = 20 \text{ м} \]

Ответ: основание равно 10 м, боковые стороны по 20 м.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что ты правильно применил свойства средней линии и формулы периметра.

Читерский прием: Запомни, средняя линия всегда параллельна стороне и равна ее половине! Это значительно упростит решение задач.