Самостоятельная работа 4 по теме «Перестановки и факториал числа» 1. Домашнее задание по литературе состоит в том, чтобы выучить одно из трех стихотворений: «Анчар», «Буря» или «Вьюга». Миша, Никита и Олег решили распределить все три стихотворения между собой по одному. Сколько существует способов это сделать? 2. Сколько различных последовательностей (не обязательно осмысленных) можно составить из букв слова «книга»? 12! 3. Вычислите значение выражения: а) 5!; б) 10! 8! ; B) 31.5! 4. Найдите вероятность того, что три последние цифры случайно выбран- ного телефонного номера - это цифры 2, 3, 1 в произвольном порядке. Самостоятельная работа 5 по теме «Сочетания» 1. Вычислите: а) C²; 6) C12. 2. В классе 20 учеников. Учитель решил проверить домашнюю работу у б из них. Сколько существует способов выбрать учеников для проверки? 3. Найдите вероятность того, что все буквы «а» окажутся на своих местах, если случайным образом перемешать и выстроить в ряд все буквы слова «ка- рандаш». 4. На книжной полке 6 учебников и 3 сборника стихов. Найдите вероятность того, что среди случайно выбранных 5 книг окажется 3 учебника и 2 сборника.

Самостоятельная работа 4 по теме «Перестановки и факториал числа»

1. Домашнее задание по литературе

У нас есть три стихотворения: «Анчар», «Буря» или «Вьюга». Миша, Никита и Олег должны распределить их между собой. Нужно найти, сколько существует способов это сделать.

Поскольку каждый из трех человек должен получить одно стихотворение, это задача на перестановки. Количество способов распределения трех стихотворений между тремя людьми равно числу перестановок из трех элементов, что равно 3! (3 факториал).

3! = 3 × 2 × 1 = 6

Ответ: 6 способов.

---

2. Последовательности из букв слова «книга»

Нам нужно найти количество различных последовательностей, которые можно составить из букв слова «книга». В слове «книга» 5 букв, и все они разные. Это задача на перестановки из 5 элементов.

Количество перестановок из 5 элементов равно 5! (5 факториал).

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Ответ: 120 различных последовательностей.

---

3. Вычисление значения выражения

а) 5!

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

б) 12!/10!

\[\frac{12!}{10!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 12 \times 11 = 132\]

в) 8! / (3! * 5!)

\[\frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 8 \times 7 = 56\]

Ответ: а) 120; б) 132; в) 56.

---

4. Вероятность последних цифр телефонного номера

Нам нужно найти вероятность того, что три последние цифры случайно выбранного телефонного номера - это цифры 2, 3, 1 в произвольном порядке.

Всего существует 10 цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Нас интересуют последние три цифры.

Общее количество возможных комбинаций для трех цифр, выбранных из 10, равно 10 × 10 × 10 = 1000, так как каждая цифра может быть любой из 10 цифр.

Теперь рассмотрим благоприятные исходы. У нас есть цифры 2, 3, 1. Количество перестановок этих трех цифр равно 3! = 3 × 2 × 1 = 6.

Вероятность того, что последние три цифры будут 2, 3, 1 в любом порядке, равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов:

P = 6 / 1000 = 0.006

Ответ: 0.006.

---

Самостоятельная работа 5 по теме «Сочетания»

1. Вычисление сочетаний

а) C² (вероятно, имеется в виду C из 7 по 2)

\[C_7^2 = \frac{7!}{2! \cdot (7-2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21\]

б) C12 (вероятно, имеется в виду C из 9 по 12, что невозможно, или C из 12 по 2)

Если имеется в виду C из 12 по 2:

\[C_{12}^2 = \frac{12!}{2! \cdot (12-2)!} = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66\]

Ответ: а) 21; б) 66.

---

2. Выбор учеников для проверки

В классе 20 учеников. Учитель хочет проверить домашнюю работу у 6 из них. Сколько существует способов выбрать учеников для проверки?

Это задача на сочетания, так как порядок выбора учеников не важен. Нужно выбрать 6 учеников из 20, то есть C из 20 по 6.

\[C_{20}^6 = \frac{20!}{6! \cdot (20-6)!} = \frac{20!}{6! \cdot 14!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 38760\]

Ответ: 38760 способов.

---

3. Вероятность расположения букв «а» в слове «карандаш»

В слове «карандаш» 8 букв, из которых 3 буквы «а». Нам нужно найти вероятность того, что все три буквы «а» окажутся на своих местах при случайном перемешивании букв.

Общее количество перестановок букв в слове «карандаш» равно 8! / 3! (делим на 3!, так как 3 буквы «а» одинаковые).

\[\frac{8!}{3!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720\]

Если все три буквы «а» находятся на своих местах, то остается 5 букв, которые можно переставлять между собой. Однако, поскольку нас интересует только один случай, когда все буквы «а» на своих местах, то количество благоприятных исходов равно 1.

Вероятность того, что все буквы «а» окажутся на своих местах, равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству перестановок:

P = 1 / 6720 ≈ 0.0001488

Ответ: 1/6720.

---

4. Вероятность выбора учебников и сборников стихов

На книжной полке 6 учебников и 3 сборника стихов. Нам нужно найти вероятность того, что среди случайно выбранных 5 книг окажется 3 учебника и 2 сборника.

Общее количество способов выбрать 5 книг из 9 (6 учебников + 3 сборника) равно C из 9 по 5.

\[C_9^5 = \frac{9!}{5! \cdot (9-5)!} = \frac{9!}{5! \cdot 4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126\]

Количество способов выбрать 3 учебника из 6 равно C из 6 по 3.

\[C_6^3 = \frac{6!}{3! \cdot (6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20\]

Количество способов выбрать 2 сборника из 3 равно C из 3 по 2.

\[C_3^2 = \frac{3!}{2! \cdot (3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3\]

Количество способов выбрать 3 учебника и 2 сборника равно произведению количества способов выбора учебников и сборников: 20 × 3 = 60.

Вероятность того, что среди выбранных 5 книг окажется 3 учебника и 2 сборника, равна отношению количества способов выбора 3 учебников и 2 сборников к общему количеству способов выбора 5 книг:

P = 60 / 126 = 10 / 21 ≈ 0.476

Ответ: 10/21.

Ответ: смотри решения выше.

Молодец! Ты отлично справился с этими задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!