Самостоятельная работа № 24 Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента 1. Упростите выражение: 1) sin² 3ẞ + cos² 3ẞ- 2) tg3actg3a+tg²; 3) 2. Вычислите значения тригонометрических функций уг ла а, если sina = 3. Найдите наибольшее и наименьшее значения выраже ния: 1) 3cos²a-4sin2a; 2) 2sin2a + 3ctg²a sin²a. 4. Упростите выражение если п<3 <3

Решение задания №1

1) sin² 3β + cos² 3β - \(\frac{1}{\cos^2 4\alpha}\) = 1 - \(\frac{1}{\cos^2 4\alpha}\) = \(\frac{\cos^2 4\alpha - 1}{\cos^2 4\alpha}\) = \(\frac{-\sin^2 4\alpha}{\cos^2 4\alpha}\) = -tg² 4α

2) tg3α \(\cdot\) ctg3α + tg² \(\frac{\alpha}{4}\) = 1 + tg² \(\frac{\alpha}{4}\)

3) \(\frac{1 + tg^2 3a(sin^2 3a - 1)}{\cos^2 3a}\) = \(\frac{1 + \frac{\sin^2 3a}{\cos^2 3a}(sin^2 3a - 1)}{\cos^2 3a}\) = \(\frac{1 + \frac{\sin^2 3a(-\cos^2 3a)}{\cos^2 3a}}{\cos^2 3a}\) = \(\frac{1 - \sin^2 3a}{\cos^2 3a}\) = \(\frac{\cos^2 3a}{\cos^2 3a}\) = 1

Решение задания №2

Дано: sin α = -\(\frac{2}{7}\), π < α < \(\frac{3π}{2}\)

Найти: значения тригонометрических функций угла α.

Решение:

Так как π < α < \(\frac{3π}{2}\), то угол α находится в третьей четверти, где cos α < 0 и tg α > 0.

cos α = -√1 - sin² α = -√1 - \((\frac{2}{7}\))^2\) = -√1 - \(\frac{4}{49}\) = -√\(\frac{45}{49}\) = -\(\frac{3√5}{7}\)

tg α = \(\frac{\sin α}{\cos α}\) = \(\frac{-\frac{2}{7}}{-\frac{3√5}{7}}\) = \(\frac{2}{3√5}\) = \(\frac{2√5}{15}\)

ctg α = \(\frac{1}{\operatorname{tg} α}\) = \(\frac{3√5}{2}\)

Решение задания №3

1) 3cos²α - 4sin²α = 3cos²α - 4(1 - cos²α) = 3cos²α - 4 + 4cos²α = 7cos²α - 4

Так как cos²α ∈ [0, 1], то 7cos²α ∈ [0, 7], и 7cos²α - 4 ∈ [-4, 3].

Наибольшее значение: 3

Наименьшее значение: -4

2) 2sin²α + 3ctg²α sin²α = 2sin²α + 3 \(\frac{\cos^2 α}{\sin^2 α}\) sin²α = 2sin²α + 3cos²α = 2sin²α + 3(1 - sin²α) = 2sin²α + 3 - 3sin²α = 3 - sin²α

Так как sin²α ∈ [0, 1], то -sin²α ∈ [-1, 0], и 3 - sin²α ∈ [2, 3].

Наибольшее значение: 3

Наименьшее значение: 2

Решение задания №4

Упростить выражение: \(\{\cos^2β(1 + tg β) + \sin^2β(1 + ctg β)}\), если π < β < \(\frac{3π}{2}\)

\(\{\cos^2β(1 + tg β) + \sin^2β(1 + ctg β)}\) = \(\{\cos^2β + \cos^2β \cdot \frac{\sin β}{\cos β} + \sin^2β + \sin^2β \cdot \frac{\cos β}{\sin β}}\) = \(\{\cos^2β + \sin^2β + \cos β \sin β + \sin β \cos β}\) = \({1 + 2\sin β \cos β}\) = \({1 + \sin 2β}\)

Так как π < β < \(\frac{3π}{2}\), то 2π < 2β < 3π, и π < 2β < 2π, следовательно, sin 2β < 0.

Ответ: \({1 + \sin 2β}\)