Самостоятельная работа – 1 вариант (19.02.26) № 1. Последовательность (ат) задана формулой ап = 5n – 3. Найдите: а₁, а₇, A11, A100, ακ. № 2. Найдите второй, седьмой, тринадцатый члены последовательности (ап), заданной формулой: а) аn = n + 4; б) ап = 2n-3 2 ; в) an = n(n-2). № 3. В арифметической прогрессии (ап) известны а₁ = − 0,3 и d = 2. Найдите: A4, a14, a24. № 4. Найдите разность арифметической прогрессии (ап), если а₁ = 16, a8 = 37. № 5. В арифметической прогрессии (ат) известны а₁ = 14 и d = 0,5. Найдите номер члена прогрессии, равного 19. № 6. Выписали двадцать членов арифметической прогрессии: 18; 4; ... Встретится ли среди них число – 64?

Привет! Разбираем твою самостоятельную работу. Сейчас все решим!

№1

Последовательность задана формулой \( a_n = 5n - 3 \). Нужно найти \( a_1, a_7, a_{11}, a_{100}, a_k \).

• \( a_1 = 5 \cdot 1 - 3 = 5 - 3 = 2 \)
• \( a_7 = 5 \cdot 7 - 3 = 35 - 3 = 32 \)
• \( a_{11} = 5 \cdot 11 - 3 = 55 - 3 = 52 \)
• \( a_{100} = 5 \cdot 100 - 3 = 500 - 3 = 497 \)
• \( a_k = 5k - 3 \)

Ответ: \( a_1 = 2, a_7 = 32, a_{11} = 52, a_{100} = 497, a_k = 5k - 3 \)

№2

Нужно найти второй, седьмой и тринадцатый члены последовательности для каждой из формул:

а) \( a_n = n + 4 \)

• \( a_2 = 2 + 4 = 6 \)
• \( a_7 = 7 + 4 = 11 \)
• \( a_{13} = 13 + 4 = 17 \)

б) \( a_n = \frac{2n - 3}{2} \)

• \( a_2 = \frac{2 \cdot 2 - 3}{2} = \frac{4 - 3}{2} = \frac{1}{2} = 0.5 \)
• \( a_7 = \frac{2 \cdot 7 - 3}{2} = \frac{14 - 3}{2} = \frac{11}{2} = 5.5 \)
• \( a_{13} = \frac{2 \cdot 13 - 3}{2} = \frac{26 - 3}{2} = \frac{23}{2} = 11.5 \)

в) \( a_n = n(n - 2) \)

• \( a_2 = 2(2 - 2) = 2 \cdot 0 = 0 \)
• \( a_7 = 7(7 - 2) = 7 \cdot 5 = 35 \)
• \( a_{13} = 13(13 - 2) = 13 \cdot 11 = 143 \)

Ответ: а) \( a_2 = 6, a_7 = 11, a_{13} = 17 \); б) \( a_2 = 0.5, a_7 = 5.5, a_{13} = 11.5 \); в) \( a_2 = 0, a_7 = 35, a_{13} = 143 \)

№3

В арифметической прогрессии \( a_1 = -0.3 \) и \( d = 2 \). Нужно найти \( a_4, a_{14}, a_{24} \).

• \( a_4 = a_1 + (4 - 1)d = -0.3 + 3 \cdot 2 = -0.3 + 6 = 5.7 \)
• \( a_{14} = a_1 + (14 - 1)d = -0.3 + 13 \cdot 2 = -0.3 + 26 = 25.7 \)
• \( a_{24} = a_1 + (24 - 1)d = -0.3 + 23 \cdot 2 = -0.3 + 46 = 45.7 \)

Ответ: \( a_4 = 5.7, a_{14} = 25.7, a_{24} = 45.7 \)

№4

В арифметической прогрессии \( a_1 = 16 \) и \( a_8 = 37 \). Нужно найти разность \( d \).

Используем формулу \( a_n = a_1 + (n - 1)d \) для \( a_8 \):

\( a_8 = a_1 + (8 - 1)d \)

\( 37 = 16 + 7d \)

\( 7d = 37 - 16 = 21 \)

\( d = \frac{21}{7} = 3 \)

Ответ: \( d = 3 \)

№5

В арифметической прогрессии \( a_1 = 14 \) и \( d = 0.5 \). Нужно найти номер члена прогрессии, равного 19.

Используем формулу \( a_n = a_1 + (n - 1)d \):

\( 19 = 14 + (n - 1)0.5 \)

\( 5 = (n - 1)0.5 \)

\( n - 1 = \frac{5}{0.5} = 10 \)

\( n = 10 + 1 = 11 \)

Ответ: 11

№6

Выписали двадцать членов арифметической прогрессии: 18, 4, ... Встретится ли среди них число \( -64 \)?

Найдем разность арифметической прогрессии:

\( d = a_2 - a_1 = 4 - 18 = -14 \)

Теперь проверим, является ли число \( -64 \) членом этой прогрессии. Используем формулу \( a_n = a_1 + (n - 1)d \):

\( -64 = 18 + (n - 1)(-14) \)

\( -64 - 18 = (n - 1)(-14) \)

\( -82 = -14(n - 1) \)

\( n - 1 = \frac{-82}{-14} = \frac{41}{7} \approx 5.86 \)

\( n = 5.86 + 1 = 6.86 \)

Так как \( n \) не является целым числом, число \( -64 \) не является членом этой арифметической прогрессии.

Ответ: Нет, число -64 не встречается в данной арифметической прогрессии.