СА-14. ПРЯМОУГОЛЬНЬ Вариант A1 0 Высота прямоугольного тре- угольника делит прямой угол на два угла, один из ко- торых в 4 раза больше дру- гого. Найдите острые углы данного треугольника.

Для решения этой задачи необходимо знать свойства прямоугольного треугольника и уметь составлять уравнения.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой (90°). Высота, проведенная из вершины прямого угла C, делит угол C на два угла: ∠BCH и ∠ACH. По условию задачи, один из этих углов в 4 раза больше другого.

Обозначим меньший из этих углов через x, тогда больший будет 4x. Так как сумма углов ∠BCH и ∠ACH составляет прямой угол, то получаем уравнение:

$$x + 4x = 90$$

$$5x = 90$$

$$x = \frac{90}{5} = 18$$

Итак, меньший угол равен 18°, а больший 4 * 18 = 72°.

Рассмотрим треугольник BCH. В этом треугольнике угол ∠CBH является острым углом исходного прямоугольного треугольника ABC. Угол ∠BCH = 18°. Зная, что сумма углов в треугольнике равна 180°, найдем угол ∠CBH:

$$∠CBH = 180 - 90 - 18 = 72$$

Теперь рассмотрим треугольник ACH. В этом треугольнике угол ∠CAH является другим острым углом исходного прямоугольного треугольника ABC. Угол ∠ACH = 72°. Найдем угол ∠CAH:

$$∠CAH = 180 - 90 - 72 = 18$$

Таким образом, острые углы данного прямоугольного треугольника равны 18° и 72°.

Ответ: 18° и 72°