С центром O отмечены точки А и В так, что ∠AOB = 45°. Длина меньшей дуги АВ равна 91. Найдите длину AB.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем длину всей окружности. Так как дуга AB составляет 45° из 360°, то ее длина относится ко всей длине окружности как 45/360. Обозначим длину всей окружности как C. \[\frac{45}{360} = \frac{91}{C}\] \[C = \frac{91 \cdot 360}{45} = 91 \cdot 8 = 728\]
2. Шаг 2: Найдем радиус окружности. Длина окружности связана с радиусом формулой C = 2πr, где r - радиус. Таким образом: \[728 = 2 \pi r\] \[r = \frac{728}{2 \pi} = \frac{364}{\pi}\]
3. Шаг 3: Найдем длину хорды AB. Хорда AB связана с радиусом и углом AOB через теорему косинусов: \[AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(45^\circ)\] Так как OA = OB = r, то \[AB^2 = r^2 + r^2 - 2r^2 \cos(45^\circ) = 2r^2(1 - \cos(45^\circ))\] \(\\)cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\(\\) \[AB^2 = 2r^2(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \cdot (\frac{364}{\pi})^2 (1 - \frac{\sqrt{2}}{2})\] \[AB = \sqrt{2 \cdot (\frac{364}{\pi})^2 (1 - \frac{\sqrt{2}}{2})} = \frac{364}{\pi} \sqrt{2 - \sqrt{2}}\] Используем приближенное значение \( \pi ≈ 3.14 \) и \( \sqrt{2} ≈ 1.414 \) \[AB ≈ \frac{364}{3.14} \sqrt{2 - 1.414} = \frac{364}{3.14} \sqrt{0.586} ≈ 115.92 \cdot 0.765 ≈ 88.67\]

Ответ: Длина хорды AB ≈ 88.67.