S. Тип 5 № 147Z / Решите неравенство: x-2 / 3-x >= 0 На каком из рисунков изображено множество его решений? В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение:

Решаем неравенство \(\frac{x-2}{3-x} \ge 0\).

Чтобы решить дробно-рациональное неравенство, найдём корни числителя и знаменателя:

• Числитель: \(x - 2 = 0 \implies x = 2\)
• Знаменатель: \(3 - x = 0 \implies x = 3\)

Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: \((-\infty, 2]\), \([2, 3)\), \((3, \infty)\). Обратите внимание, что \(x=2\) включается в решение (так как неравенство \(\ge\)), а \(x=3\) — нет (так как на ноль делить нельзя).

Теперь проверим знаки выражения \(\frac{x-2}{3-x}\) на каждом интервале:

• При \(x < 2\) (например, \(x=0\)): \(\frac{0-2}{3-0} = \frac{-2}{3} < 0\)
• При \(2 \le x < 3\) (например, \(x=2.5\)): \(\frac{2.5-2}{3-2.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 > 0\)
• При \(x > 3\) (например, \(x=4\)): \(\frac{4-2}{3-4} = \frac{2}{-1} = -2 < 0\)

Нам нужно, где выражение \(\ge 0\), значит, подходит интервал \([2, 3)\).

Теперь сравним полученный интервал с предложенными рисунками:

• Рисунок 1: \(x \le 2\) или \(x \ge 3\) (знак \(\ge 0\) для \(3-x\), что противоречит неравенству)
• Рисунок 2: \(x ≥ 2\) и \(x < 3\) (интервал \([2, 3)\)). На рисунке точка \(2\) закрашена (включена), а точка \(3\) выколота (не включена). Это соответствует нашему решению.
• Рисунок 3: \(x \le 2\) (не подходит)
• Рисунок 4: \(x ≥ 2\) (не подходит, так как \(x < 3\) не учтено)

Следовательно, правильным является рисунок под номером 2.

Ответ: 2