С-20. Системы неравенств с двумя переменными Является ли решением системы неравенств пара чисел: a) (-1; 0); Вариант 1 6) (3; 2); в) (-4; 3)? \[\begin{cases}y - x^2 > -2, \\ 5x - 2y < 12\end{cases}\] Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств: a) \[\begin{cases}x < 0, \\ y > 2;\end{cases}\] б) \[\begin{cases}y \ge x^2 + 1, \\ y \le 3;\end{cases}\] 3 x² + y² ≤ 4, в) ((x - 1)² + (y + 2)² ≤ 4. Задайте системой неравенств треугольник, изображённый на рисунке.

Задание 1

• а) (-1; 0): Подставляем x = -1 и y = 0 в систему:
  • 0 - (-1)² > -2 → 0 - 1 > -2 → -1 > -2 (верно)
  • 5(-1) - 2(0) < 12 → -5 - 0 < 12 → -5 < 12 (верно)
  Так как оба неравенства верны, пара (-1; 0) является решением.
• б) (3; 2): Подставляем x = 3 и y = 2 в систему:
  • 2 - (3)² > -2 → 2 - 9 > -2 → -7 > -2 (неверно)
  Так как первое неравенство неверно, пара (3; 2) не является решением.
• в) (-4; 3): Подставляем x = -4 и y = 3 в систему:
  • 3 - (-4)² > -2 → 3 - 16 > -2 → -13 > -2 (неверно)
  Так как первое неравенство неверно, пара (-4; 3) не является решением.

Ответ: Только пара чисел (-1; 0) является решением системы неравенств.

Проверка за 10 секунд: Подставь значения x и y в неравенства и убедись, что они верны.

База: Решение системы неравенств – это множество точек, удовлетворяющих всем неравенствам системы.

Задание 2

• а) \[\begin{cases}x < 0, \\ y > 2;\end{cases}\]
  • x < 0: Все точки левее оси y.
  • y > 2: Все точки выше прямой y = 2.
  Область решения: Пересечение этих двух областей - область, находящаяся левее оси y и выше прямой y = 2.
• б) \[\begin{cases}y \ge x^2 + 1, \\ y \le 3;\end{cases}\]
  • y ≥ x² + 1: Все точки выше или на параболе y = x² + 1.
  • y ≤ 3: Все точки ниже или на прямой y = 3.
  Область решения: Область между параболой y = x² + 1 и прямой y = 3, включая границы.
• в) \[\begin{cases}x^2 + y^2 \le 4, \\ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 \le 4;\end{cases}\]
  • x² + y² ≤ 4: Все точки внутри или на окружности с центром в (0, 0) и радиусом 2.
  • (x - 1)² + (y + 2)² ≤ 4: Все точки внутри или на окружности с центром в (1, -2) и радиусом 2.
  Область решения: Пересечение этих двух кругов, включая границы.

Ответ: Описаны области решений для каждой системы неравенств.

Проверка за 10 секунд: Представь графически каждую область и найди их пересечение.

Редфлаг: Будь внимателен к знакам неравенств: строгие (<, >) соответствуют пунктирным линиям, нестрогие (≤, ≥) — сплошным.

Задание 3

Предположим, что треугольник задан вершинами (x₁, y₁), (x₂, y₂) и (x₃, y₃). Уравнения сторон треугольника можно найти, используя формулу прямой, проходящей через две точки: \[\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\] После нахождения уравнений сторон, необходимо определить знаки неравенств, чтобы указать внутреннюю область треугольника. Это можно сделать, подставив координаты любой внутренней точки треугольника в каждое неравенство.

Пример:

Допустим, у нас есть треугольник с вершинами (1, 1), (4, 1) и (3, 3). Тогда:

• Сторона 1: (1, 1) и (4, 1). Уравнение прямой: y = 1. Неравенство: y ≥ 1.
• Сторона 2: (4, 1) и (3, 3). Уравнение прямой: y = -2x + 9. Неравенство: y ≤ -2x + 9.
• Сторона 3: (3, 3) и (1, 1). Уравнение прямой: y = x. Неравенство: y ≥ x.

Система неравенств, описывающая этот треугольник: \[\begin{cases}y \ge 1, \\ y \le -2x + 9, \\ y \ge x;\end{cases}\] Ответ: Система неравенств для треугольника строится на основе уравнений его сторон и ориентации внутренней области.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что внутренняя точка треугольника удовлетворяет всем неравенствам.

Уровень Эксперт: Для более сложных фигур используй комбинацию линейных и нелинейных неравенств, а также логические операторы.