С-44. Разложение многочленов на множители с использованием нескольких способов 1. Разложите на множители: 1) a) 5x²-45; 6) ах²-4а; в) 18с - 2p²с; г) 3ky² - 3k; 2) а) 3x²-75а²; б) -2ау² + 2а³; в) 5x³-5a²х; г) вс³-b³c. 2. Представьте в виде произведения: 1) a) 5a²+10ab + 5b²; 6) ax²-4ax + 4a; 2) a) -6a² + 12ab - 6b²; 6)-2x²-8x-8; в) ах² - 2аху + ay²; г) х³+2x² + x; в) -а² + 8ab - 16b²; г) -12x³ + 12x² - 3x. 3. Разложите на множители: 2 1) a) a²+ab+b²; 6) -3; 9 2) a) y⁴-8y² + 16; 6) -c + c²; 3) a) (c + 5)c² - (c+5) 2c+ (c + 5); б) 4-a²-2a(4-a²) + a²(4-a²); 4) a) 8a³-b³+ 4a² + 2ab+b²; б) 8a³-b³ + 4a² - 4ab + b². 4. Докажите, что: 1) (a + 1)³ - (a + 1) = a(a + 1)(a + 2); 2) 4b²c² - (b²+c² + a²)²= (a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a 5. Какой многочлен надо записать вместо значка *, чтоб получившееся равенство было тождеством: 1) (x-1)* = x²-4x+3; 2) (x² - 4x + 3) = x³-3x²-x+=

1) a) 5x²-45 = 5(x²-9) = 5(x-3)(x+3)

б) ах²-4а = a(x²-4) = a(x-2)(x+2)

в) 18с - 2p²с = 2c(9 - p²) = 2c(3-p)(3+p)

г) 3ky² - 3k = 3k(y²-1) = 3k(y-1)(y+1)

2) a) 3x²-75а² = 3(x² - 25a²) = 3(x-5a)(x+5a)

б) -2ау² + 2а³ = -2a(y² - a²) = -2a(y-a)(y+a)

в) 5x³-5a²х = 5x(x²-a²) = 5x(x-a)(x+a)

г) вс³-b³c = bc(c²-b²) = bc(c-b)(c+b)

1) a) 5a²+10ab + 5b² = 5(a² + 2ab + b²) = 5(a+b)²

б) ax²-4ax + 4a = a(x² - 4x + 4) = a(x-2)²

в) ах² - 2аху + ay² = a(x² - 2xy + y²) = a(x-y)²

г) х³+2x² + x = x(x² + 2x + 1) = x(x+1)²

2) a) -6a² + 12ab - 6b² = -6(a² - 2ab + b²) = -6(a-b)²

б) -2x²-8x-8 = -2(x² + 4x + 4) = -2(x+2)²

в) -а² + 8ab - 16b² = -(a² - 8ab + 16b²) = -(a-4b)²

г) -12x³ + 12x² - 3x = -3x(4x² - 4x + 1) = -3x(2x-1)²

1) a) \(\frac{1}{2}a^2 + ab + \frac{1}{2}b^2\) = \(\frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2) = \frac{1}{2}(a+b)^2\) = \(\frac{1}{2}(a+b)^2\)

б) \(\frac{1}{9}a^3 - 3 = \frac{1}{9}(a^3 - 27) = \frac{1}{9}(a-3)(a^2+3a+9)\) = \(\frac{1}{9}(a-3)(a^2+3a+9)\)

2) a) y⁴-8y² + 16 = (y²-4)² = (y-2)²(y+2)²

б) -c + c⁷ = c(-1 + c⁶) = c(c³-1)(c³+1) = c(c-1)(c²+c+1)(c+1)(c²-c+1)

3) a) (c + 5)c² - (c+5) ⋅ 2c + (c + 5) = (c+5)(c² - 2c + 1) = (c+5)(c-1)²

б) 4-a²-2a(4-a²) + a²(4-a²) = 4 - a² - 8a + 2a³ + 4a² - a⁴ = -a⁴ + 2a³ + 3a² - 8a + 4 = -(a-1)²(a²+2a-4)

4) a) 8a³-b³+ 4a² + 2ab+b² = (8a³ - b³) + (4a² + 2ab + b²) = (2a-b)(4a² + 2ab + b²) + (4a² + 2ab + b²) = (2a-b+1)(4a² + 2ab + b²)

б) 8a³-b³ + 4a² - 4ab + b² = (8a³ - b³) + (4a² - 4ab + b²) = (2a-b)(4a² + 2ab + b²) + (4a² - 4ab + b²) = (2a-b+1)(4a² - 4ab + b²)

1) (a + 1)³ - (a + 1) = a(a + 1)(a + 2)

(a+1)³ - (a+1) = (a+1)((a+1)² - 1) = (a+1)(a² + 2a + 1 - 1) = (a+1)(a² + 2a) = (a+1)a(a+2) = a(a+1)(a+2)

Что и требовалось доказать.

2) 4b²c² - (b²+c² + a²)²= (a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)

4b²c² - (b² + c² + a²)² = (2bc)² - (b² + c² + a²)² = (2bc - (b² + c² + a²))(2bc + (b² + c² + a²)) = -(a² + b² + c² - 2bc)(a² - (b² + c² + 2bc)) = -(a² + (b-c)²)(a² - (b+c)²) = -(a-(b-c))(a+(b-c))(a-(b+c))(a+(b+c)) = (a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)(a+b+c) = (a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)

Что и требовалось доказать.

1) (x-1) * = x²-4x+3

x²-4x+3 = (x-1)(x-3), следовательно, * = (x-3)

2) (x² - 4x + 3) * = x³-3x²-x+3

x³-3x²-x+3 = (x² - 1)(x-3) = (x-1)(x+1)(x-3), следовательно, x²-4x+3 = (x-1)(x-3)

(x² - 4x + 3) * = (x-1)(x-3) * = (x-1)(x+1)(x-3), следовательно, * = (x+1)