1 С-48. Преобразование целых выражений 1. Упростите выражение: 1) a) (4a - b)(a - 6b) + a(25b – 3a); б) (2x + 3y)(x - y) – x(x + y); в) За(а + 1) + (a + 2)(a – 3); г) 2c(5с – 3) – (с – 2)(с – 4); 2) a) (3a + b)(a - 2b) + (2a + b)(a – 5b); б) (x + 1)(x + 7) – (x + 2)(x + 3); в) (а – 4)(а + 6) + (a – 10)(a – 2); г) (у – 3)(5 – у) – (4 – y)(y + 6). 2. Преобразуйте в многочлен: 1) a) 3x(3x + 7) – (3x + 1)²; 2) a) (y - 2)(y + 3) – (y − 1)²; 3) a) (p + 1)² - (p + 2)²; 4) a) 4(a + 5)² - (4a² + 40a); б) 4b(3b + 6) – (3b – 5)(3b + 5); б) (с – 5)(с – 1) – (с – 6)²; б) (у - 4)² - (4 – y)(4 + y); б) (4ab - b²) + 2(a – b)². 3. Найдите значение выражения: a) (7-x)(7 + x) + (x + 3)² при х = −3,5; б) (2a - b)² - (2a + b)² при а = 1, b = 0,7. 4. Упростите выражение: 1) a) 3(2a - 5b)² – 12(a – b)²; б) 7(2а + 5)² + 5(2a - 7)²; 2) a) (3x² + 4)² + (3x² - 4)² - 2(5-3x²)(5 + 3x²); б) (4a³ + 5)² + (4a³ - 1)² - 2(4a³ + 5)(4a³ – 1); 3) a) (p-2a)(p + 2a) - (p-a)(p² + pa + a²); б) x(2x - 1)² - 2(x + 1)(x² - x + 1). 5. Докажите, что: 1) (2a - b)(2a + b) + (b - c)(b + c) + (c - 2a)(c + 2a) = 0; 2) (3x + y)² - (3x - y)² = (3xy + 1)² - (3xy - 1)2.

1. Упростите выражение:

1. a) \[(4a - b)(a - 6b) + a(25b – 3a) = 4a^2 - 24ab - ab + 6b^2 + 25ab - 3a^2 = a^2 + 6b^2\]

2. б) \[(2x + 3y)(x - y) – x(x + y) = 2x^2 - 2xy + 3xy - 3y^2 - x^2 - xy = x^2 - 3y^2\]

3. в) \[3a(a + 1) + (a + 2)(a – 3) = 3a^2 + 3a + a^2 - 3a + 2a - 6 = 4a^2 + 2a - 6\]

4. г) \[2c(5c – 3) – (c – 2)(c – 4) = 10c^2 - 6c - (c^2 - 4c - 2c + 8) = 10c^2 - 6c - c^2 + 6c - 8 = 9c^2 - 8\]

2.

1. a) \[(3a + b)(a - 2b) + (2a + b)(a – 5b) = 3a^2 - 6ab + ab - 2b^2 + 2a^2 - 10ab + ab - 5b^2 = 5a^2 - 14ab - 7b^2\]

2. б) \[(x + 1)(x + 7) – (x + 2)(x + 3) = x^2 + 7x + x + 7 - (x^2 + 3x + 2x + 6) = x^2 + 8x + 7 - x^2 - 5x - 6 = 3x + 1\]

3. в) \[(а – 4)(а + 6) + (a – 10)(a – 2) = a^2 + 6a - 4a - 24 + a^2 - 2a - 10a + 20 = 2a^2 - 10a - 4\]

4. г) \[(у – 3)(5 – у) – (4 – y)(y + 6) = 5y - y^2 - 15 + 3y - (4y + 24 - y^2 - 6y) = 8y - y^2 - 15 - 4y - 24 + y^2 + 6y = 10y - 39\]

2. Преобразуйте в многочлен:

1. a) \[3x(3x + 7) – (3x + 1)^2 = 9x^2 + 21x - (9x^2 + 6x + 1) = 9x^2 + 21x - 9x^2 - 6x - 1 = 15x - 1\]

2. б) \[4b(3b + 6) – (3b – 5)(3b + 5) = 12b^2 + 24b - (9b^2 - 25) = 12b^2 + 24b - 9b^2 + 25 = 3b^2 + 24b + 25\]

3. a) \[(y - 2)(y + 3) – (y − 1)^2 = y^2 + 3y - 2y - 6 - (y^2 - 2y + 1) = y^2 + y - 6 - y^2 + 2y - 1 = 3y - 7\]

4. б) \[(с – 5)(с – 1) – (с – 6)^2 = c^2 - c - 5c + 5 - (c^2 - 12c + 36) = c^2 - 6c + 5 - c^2 + 12c - 36 = 6c - 31\]

5. a) \[(p + 1)^2 - (p + 2)^2 = p^2 + 2p + 1 - (p^2 + 4p + 4) = p^2 + 2p + 1 - p^2 - 4p - 4 = -2p - 3\]

6. б) \[(y - 4)^2 - (4 – y)(4 + y) = y^2 - 8y + 16 - (16 - y^2) = y^2 - 8y + 16 - 16 + y^2 = 2y^2 - 8y\]

7. a) \[4(a + 5)^2 - (4a² + 40a) = 4(a^2 + 10a + 25) - 4a^2 - 40a = 4a^2 + 40a + 100 - 4a^2 - 40a = 100\]

8. б) \[(4ab - b²) + 2(a – b)^2 = 4ab - b^2 + 2(a^2 - 2ab + b^2) = 4ab - b^2 + 2a^2 - 4ab + 2b^2 = 2a^2 + b^2\]

3. Найдите значение выражения:

1. a) \[(7-x)(7 + x) + (x + 3)^2\] при \[x = -3.5\]

   \[(7-(-3.5))(7 + (-3.5)) + ((-3.5) + 3)^2 = (7 + 3.5)(7 - 3.5) + (-0.5)^2 = 10.5 * 3.5 + 0.25 = 36.75 + 0.25 = 37\]

2. б) \[(2a - b)^2 - (2a + b)^2\] при \[a = 1\frac{3}{7}, b = 0.7\]

   \[(2 * 1\frac{3}{7} - 0.7)^2 - (2 * 1\frac{3}{7} + 0.7)^2 = (2 * \frac{10}{7} - 0.7)^2 - (2 * \frac{10}{7} + 0.7)^2 = (\frac{20}{7} - 0.7)^2 - (\frac{20}{7} + 0.7)^2 = (2.857 - 0.7)^2 - (2.857 + 0.7)^2 = 2.157^2 - 3.557^2 = 4.6526 - 12.651 = -7.9984\]

4. Упростите выражение:

1. a) \[3(2a - 5b)^2 – 12(a – b)^2 = 3(4a^2 - 20ab + 25b^2) - 12(a^2 - 2ab + b^2) = 12a^2 - 60ab + 75b^2 - 12a^2 + 24ab - 12b^2 = -36ab + 63b^2\]

2. б) \[7(2а + 5)^2 + 5(2a - 7)^2 = 7(4a^2 + 20a + 25) + 5(4a^2 - 28a + 49) = 28a^2 + 140a + 175 + 20a^2 - 140a + 245 = 48a^2 + 420\]

3. a) \[(3x² + 4)² + (3x² - 4)² - 2(5-3x²)(5 + 3x²) = (9x^4 + 24x^2 + 16) + (9x^4 - 24x^2 + 16) - 2(25 - 9x^4) = 18x^4 + 32 - 50 + 18x^4 = 36x^4 - 18\]

4. б) \[(4a³ + 5)² + (4a³ - 1)² - 2(4a³ + 5)(4a³ – 1) = (16a^6 + 40a^3 + 25) + (16a^6 - 8a^3 + 1) - 2(16a^6 + 20a^3 - 4a^3 - 5) = 32a^6 + 32a^3 + 26 - 32a^6 - 32a^3 + 10 = 36\]

5. a) \[(p-2a)(p + 2a) - (p-a)(p² + pa + a²) = (p^2 - 4a^2) - (p^3 + p^2a + pa^2 - ap^2 - a^2p - a^3) = p^2 - 4a^2 - p^3 + a^3\]

6. б) \[x(2x - 1)² - 2(x + 1)(x² - x + 1) = x(4x^2 - 4x + 1) - 2(x^3 - x^2 + x + x^2 - x + 1) = 4x^3 - 4x^2 + x - 2x^3 - 2 = 2x^3 - 4x^2 + x - 2\]

5. Докажите, что:

1. \[(2a - b)(2a + b) + (b - c)(b + c) + (c - 2a)(c + 2a) = 0\]

   \[4a^2 - b^2 + b^2 - c^2 + c^2 - 4a^2 = 0\]

   \[0 = 0\]

   Доказано.

2. \[(3x + y)² - (3x - y)² = (3xy + 1)² - (3xy - 1)^2\]

   \[9x^2 + 6xy + y^2 - (9x^2 - 6xy + y^2) = (9x^2y^2 + 6xy + 1) - (9x^2y^2 - 6xy + 1)\]

   \[9x^2 + 6xy + y^2 - 9x^2 + 6xy - y^2 = 9x^2y^2 + 6xy + 1 - 9x^2y^2 + 6xy - 1\]

   \[12xy = 12xy\]

   Доказано.