С ФУТБОЛЬНЫМ М..ЧОМ (____), РУКОЯТКА БОГАТЫРСКОГО

мячом — проверочное слово: мяч. Безударная гласная в корне -я-.

богатырского — проверочное слово: богатырь. Написание гласной в корне -а- является непроверяемым, словарное слово.