С 1. Какое наименьшее число бревен длиной 10 м и площадью сечения 300 см² надо взять для плота, на котором можно переправить через реку груз массой 5 т? (3 бала).

Ответ: Необходимо определить минимальное количество бревен для плота.

Решение:

• Дано:
  • Длина бревна: \( l = 10 \,\text{м} \)
  • Площадь сечения бревна: \( S = 300 \,\text{см}^2 = 0.03 \,\text{м}^2 \)
  • Масса груза: \( m_{\text{груза}} = 5 \,\text{т} = 5000 \,\text{кг} \)
  • Плотность дерева (возьмем сосну): \( \rho_{\text{дерева}} = 400 \,\text{кг/м}^3 \)
  • Плотность воды: \( \rho_{\text{воды}} = 1000 \,\text{кг/м}^3 \)
• Найти: Минимальное количество бревен: \( n \)
• Шаг 1: Объем одного бревна: \[ V_{\text{бревна}} = l \cdot S = 10 \,\text{м} \cdot 0.03 \,\text{м}^2 = 0.3 \,\text{м}^3 \]
• Шаг 2: Масса одного бревна: \[ m_{\text{бревна}} = \rho_{\text{дерева}} \cdot V_{\text{бревна}} = 400 \,\text{кг/м}^3 \cdot 0.3 \,\text{м}^3 = 120 \,\text{кг} \]
• Шаг 3: Вес груза: \[ P_{\text{груза}} = m_{\text{груза}} \cdot g = 5000 \,\text{кг} \cdot 9.8 \,\text{м/с}^2 = 49000 \,\text{Н} \]
• Шаг 4: Вес одного бревна: \[ P_{\text{бревна}} = m_{\text{бревна}} \cdot g = 120 \,\text{кг} \cdot 9.8 \,\text{м/с}^2 = 1176 \,\text{Н} \]
• Шаг 5: Архимедова сила, действующая на одно полностью погруженное бревно: \[ F_A = \rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot V_{\text{бревна}} = 1000 \,\text{кг/м}^3 \cdot 9.8 \,\text{м/с}^2 \cdot 0.3 \,\text{м}^3 = 2940 \,\text{Н} \]
• Шаг 6: Пусть \( n \) — количество бревен. Тогда, чтобы плот держался на воде, необходимо, чтобы суммарная архимедова сила была равна сумме веса груза и веса бревен: \[ n \cdot F_A = P_{\text{груза}} + n \cdot P_{\text{бревна}} \]
• Шаг 7: Решим уравнение относительно \( n \): \[ n = \frac{P_{\text{груза}}}{F_A - P_{\text{бревна}}} = \frac{49000 \,\text{Н}}{2940 \,\text{Н} - 1176 \,\text{Н}} = \frac{49000}{1764} \approx 27.78 \]
• Шаг 8: Поскольку количество бревен должно быть целым числом, округляем в большую сторону: \[ n = 28 \]

Ответ: 28 бревен