Ряд Фурье функции f(x) = |x| (- π < x < π), T = 2π, в точке x₀ = -π сходится к значению

Решение:

Функция \( f(x) = |x| \) является чётной. Её ряд Фурье имеет вид:

\[ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx) \]

где \( a_0 = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x dx \) и \( a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \cos(nx) dx \).

Вычислим \( a_0 \):

\[ a_0 = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{\pi} = \frac{2}{\pi} \left( \frac{\pi^2}{2} - 0 \right) = \pi \]

Вычислим \( a_n \) (интегрированием по частям):

\[ a_n = \frac{2}{\pi} \left( \left[ x \frac{\sin(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{n} dx \right) \]

\[ a_n = \frac{2}{\pi} \left( 0 - \left[ \frac{-\cos(nx)}{n^2} \right]_{0}^{\pi} \right) = \frac{2}{\pi} \left( \frac{\cos(n\pi)}{n^2} - \frac{1}{n^2} \right) \]

Так как \( \cos(n\pi) = (-1)^n \), то:

\[ a_n = \frac{2}{\pi n^2} ((-1)^n - 1) \]

Если \( n \) — чётное, \( (-1)^n = 1 \), тогда \( a_n = 0 \).

Если \( n \) — нечётное, \( (-1)^n = -1 \), тогда \( a_n = \frac{2}{\pi n^2} (-1 - 1) = -\frac{4}{\pi n^2} \).

Ряд Фурье имеет вид:

\[ f(x) = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\cos((2k+1)x)}{(2k+1)^2} \]

В точке \( x_0 = -\pi \), значение функции \( f(-\pi) = |-\pi| = \pi \). Поскольку функция является непрерывной и кусочно-дифференцируемой, ряд Фурье сходится к значению функции в этой точке.

Ответ: π