Ряд Фурье функции f(x) = |x| (-l< x <²), T = 21, в точке хо = 0 сходится к значению

Решение:

Функция \( f(x) = |x| \) является чётной, так как \( f(-x) = |-x| = |x| = f(x) \). Ряд Фурье для чётной функции содержит только косинусные члены.

Интегралы для коэффициентов ряда Фурье:

\( a_0 = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} |x| dx \)

Поскольку \( |x| \) — чётная функция, интеграл можно упростить:

\( a_0 = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} x dx = \frac{2}{l} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{l} = \frac{2}{l} \left( \frac{l^2}{2} - 0 \right) = l \)

\( a_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} |x| \cos(\frac{n\pi x}{l}) dx \)

Так как \( |x| \cos(\frac{n\pi x}{l}) \) — чётная функция:

\( a_n = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} x \cos(\frac{n\pi x}{l}) dx \)

Интегрируем по частям: \( u = x \), \( dv = \cos(\frac{n\pi x}{l}) dx \). Тогда \( du = dx \), \( v = \frac{l}{n\pi} \sin(\frac{n\pi x}{l}) \).

\( a_n = \frac{2}{l} \left( \left[ x \frac{l}{n\pi} \sin(\frac{n\pi x}{l}) \right]_{0}^{l} - \int_{0}^{l} \frac{l}{n\pi} \sin(\frac{n\pi x}{l}) dx \right) \)

Первое слагаемое равно нулю при \( x=0 \) и \( x=l \) (так как \( \sin(n\pi) = 0 \)).

\( a_n = \frac{2}{l} \left( - \frac{l}{n\pi} \int_{0}^{l} \sin(\frac{n\pi x}{l}) dx \right) = - \frac{2}{n\pi} \left[ -\frac{l}{n\pi} \cos(\frac{n\pi x}{l}) \right]_{0}^{l} \)

\( a_n = \frac{2l}{(n\pi)^2} \left[ \cos(\frac{n\pi x}{l}) \right]_{0}^{l} = \frac{2l}{(n\pi)^2} (\cos(n\pi) - \cos(0)) = \frac{2l}{(n\pi)^2} ((-1)^n - 1) \)

Если \( n \) — чётное, \( (-1)^n = 1 \), \( a_n = 0 \).

Если \( n \) — нечётное, \( (-1)^n = -1 \), \( a_n = \frac{2l}{(n\pi)^2} (-1 - 1) = -\frac{4l}{(n\pi)^2} \).

\( b_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} |x| \sin(\frac{n\pi x}{l}) dx \)

Так как \( |x| \sin(\frac{n\pi x}{l}) \) — нечётная функция, \( b_n = 0 \).

Ряд Фурье имеет вид:

\( f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(\frac{n\pi x}{l}) = \frac{l}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} -\frac{4l}{((2k-1)\pi)^2} \cos(\frac{(2k-1)\pi x}{l}) \)

В точке \( x_0 = 0 \), ряд сходится к значению:

\( f(0) = \frac{l}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} -\frac{4l}{((2k-1)\pi)^2} \cos(0) = \frac{l}{2} - \frac{4l}{\pi^2} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)^2} \)

Известная сумма ряда \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)^2} = 1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + ... = \frac{\pi^2}{8} \).

\( f(0) = \frac{l}{2} - \frac{4l}{\pi^2} \cdot \frac{\pi^2}{8} = \frac{l}{2} - \frac{4l}{8} = \frac{l}{2} - \frac{l}{2} = 0 \).

Ответ: 0