Ряд Фурье функции f(x) = -4x (-2 < x < 2), T = 4 в точке x₀ = 0 сходится к значению

Решение:

Для определения, к какому значению сходится ряд Фурье функции \( f(x) = -4x \) на интервале \( (-2, 2) \) при \( T=4 \) в точке \( x_0 = 0 \), рассмотрим свойства функции и её ряд Фурье.

Функция \( f(x) = -4x \) является нечётной, так как \( f(-x) = -4(-x) = 4x = -f(x) \).

Ряд Фурье нечётной функции состоит только из синусоидальных членов.

Для функции \( f(x) \), определённой на интервале \( (-L, L) \), её ряд Фурье имеет вид:

\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right) \]

где коэффициенты \( a_0 \) и \( a_n \) равны нулю для нечётных функций.

В данном случае \( L=2 \). Следовательно, ряд Фурье имеет вид:

\[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \]

Коэффициенты \( b_n \) вычисляются по формуле:

\[ b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx \]

Для \( f(x) = -4x \) и \( L=2 \):

\[ b_n = \frac{2}{2} \int_{0}^{2} (-4x) \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx = -4 \int_{0}^{2} x \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx \]

Интегрируя по частям, получаем:

\[ \int x \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx = -\frac{2x}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) + \frac{4}{(n\pi)^2} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \]

Подставляя пределы интегрирования от 0 до 2:

\[ \left[-\frac{2x}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) + \frac{4}{(n\pi)^2} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\right]_0^2 = \left(-\frac{4}{n\pi} \cos(n\pi) + \frac{4}{(n\pi)^2} \sin(n\pi)\right) - (0 + 0) \]

Поскольку \( \sin(n\pi) = 0 \) и \( \cos(n\pi) = (-1)^n \):

\[ = -\frac{4}{n\pi} (-1)^n = \frac{4 (-1)^{n+1}}{n\pi} \]

Тогда коэффициент \( b_n \):

\[ b_n = -4 \cdot \frac{4 (-1)^{n+1}}{n\pi} = \frac{16 (-1)^n}{n\pi} \]

Ряд Фурье имеет вид:

\[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{16 (-1)^n}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) \]

В точке \( x_0 = 0 \), ряд Фурье для непрерывной функции сходится к значению функции в этой точке. Поскольку \( f(x) = -4x \) непрерывна в \( x=0 \), ряд Фурье сходится к \( f(0) \).

\[ f(0) = -4 \cdot 0 = 0 \]

Также, для нечётной функции, ряд Фурье в точках разрыва (если они есть) сходится к среднему арифметическому пределов слева и справа. В точке \( x_0 = 0 \) функция непрерывна.

Проверим сходимость в точке \( x=0 \) по ряду:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{16 (-1)^n}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi \cdot 0}{2}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{16 (-1)^n}{n\pi} \sin(0) = \sum_{n=1}^{\infty} 0 = 0 \]

Таким образом, ряд Фурье сходится к 0 в точке \( x_0 = 0 \).

Варианты ответов:

• -4
• расходится в точке x₀ = 0
• 0
• 4

Вывод: Ряд Фурье функции \( f(x) = -4x \) в точке \( x_0 = 0 \) сходится к значению 0.

Ответ: 0