Өрнекті екімүшенің квадраты түріне келтіріңіз. 13 + 2√22

Решение:

Нужно представить выражение \( 13 + 2\sqrt{22} \) в виде квадрата двучлена \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

Рассмотрим часть \( 2\sqrt{22} \). Она соответствует члену \( 2ab \) в формуле квадрата двучлена. Отсюда \( ab = \sqrt{22} \).

Попробуем подобрать такие \( a \) и \( b \), чтобы их произведение было \( \sqrt{22} \), а сумма их квадратов была равна \( 13 \).

Возможные пары множителей для \( \sqrt{22} \): \( 1 \cdot \sqrt{22} \) или \( 2 \cdot \sqrt{\frac{22}{4}} = 2 \cdot \sqrt{5.5} \), что не является целыми числами или простыми радикалами.

Проверим, если \( a = \sqrt{11} \) и \( b = \sqrt{2} \), то \( ab = \sqrt{11} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{22} \).

Теперь проверим сумму их квадратов:

\( a^2 + b^2 = (\sqrt{11})^2 + (\sqrt{2})^2 = 11 + 2 = 13 \).

Это соответствует условию.

Таким образом, \( 13 + 2\sqrt{22} = (\sqrt{11})^2 + 2\sqrt{11}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{11} + \sqrt{2})^2 \).

Ответ: \( (\sqrt{11} + \sqrt{2})^2 \).