Рис. 1 Вариант 1 1. На рисунке 1 АВ || CD. а) Докажите, что АО : ОС = BO: OD. б) Найдите АВ, если OD = 15 см, ОВ = 9 см, CD = 25 см. 2 Дано: ДАВС ~ ДА1В1С1, ∠A = ∠A1, A1B1 = 12см, В1С1 = 15см, А1С1 = 18см, АВ = 4см – меньшая сторона ДАВС. Найти АС и ВС. 3. Стороны треугольника равны 5 см, 3 см и 7 см. Найдите стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 105 см. 4 У подобных треугольников сходственные стороны равны 7 см и 35 см. Площадь первого треугольника равна 27 см². Найдите площадь второго треугольника.

Решение:

1. а) Доказать, что $$AO : OC = BO : OD$$.

   Рассмотрим треугольники $$\triangle AOB$$ и $$\triangle COD$$.

   Так как $$AB \parallel CD$$, то $$\angle OAB = \angle OCD$$ и $$\angle OBA = \angle ODC$$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $$AB$$ и $$CD$$ и секущих $$AC$$ и $$BD$$ соответственно.

   Следовательно, $$\triangle AOB \sim \triangle COD$$ по двум углам (первый признак подобия треугольников).

   Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $$\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$$.

   Что и требовалось доказать.

2. б) Найти $$AB$$, если $$OD = 15 \text{ см}$$, $$OB = 9 \text{ см}$$, $$CD = 25 \text{ см}$$.

   Так как $$\triangle AOB \sim \triangle COD$$, то $$\frac{AB}{CD} = \frac{OB}{OD}$$.

   Отсюда, $$AB = \frac{OB}{OD} \cdot CD = \frac{9}{15} \cdot 25 = \frac{3}{5} \cdot 25 = 15 \text{ см}$$.

Ответ: 15 см

1. Дано: $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$, $$\angle A = \angle A_1$$, $$A_1B_1 = 12 \text{ см}$$, $$B_1C_1 = 15 \text{ см}$$, $$A_1C_1 = 18 \text{ см}$$, $$AB = 4 \text{ см}$$ - меньшая сторона $$\triangle ABC$$.

   Найти: $$AC$$ и $$BC$$.

   Решение:

   Так как $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$, и $$AB$$ - меньшая сторона $$\triangle ABC$$, то ей соответствует меньшая сторона $$\triangle A_1B_1C_1$$, которой является $$A_1B_1$$.

   Значит, коэффициент подобия $$k = \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{12}{4} = 3$$.

   Следовательно, $$AC = \frac{A_1C_1}{k} = \frac{18}{3} = 6 \text{ см}$$, $$BC = \frac{B_1C_1}{k} = \frac{15}{3} = 5 \text{ см}$$.

   Ответ: $$AC = 6 \text{ см}$$, $$BC = 5 \text{ см}$$

1. Стороны треугольника равны 5 см, 3 см и 7 см. Найдите стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 105 см.

   Решение:

   Пусть стороны данного треугольника $$a = 5 \text{ см}$$, $$b = 3 \text{ см}$$, $$c = 7 \text{ см}$$. Периметр данного треугольника $$P = a + b + c = 5 + 3 + 7 = 15 \text{ см}$$.

   Пусть стороны подобного треугольника $$a_1$$, $$b_1$$, $$c_1$$, а его периметр $$P_1 = 105 \text{ см}$$.

   Коэффициент подобия $$k = \frac{P_1}{P} = \frac{105}{15} = 7$$.

   Тогда, $$a_1 = k \cdot a = 7 \cdot 5 = 35 \text{ см}$$, $$b_1 = k \cdot b = 7 \cdot 3 = 21 \text{ см}$$, $$c_1 = k \cdot c = 7 \cdot 7 = 49 \text{ см}$$.

   Ответ: 35 см, 21 см, 49 см

1. У подобных треугольников сходственные стороны равны 7 см и 35 см. Площадь первого треугольника равна 27 см². Найдите площадь второго треугольника.

   Решение:

   Пусть $$a_1 = 7 \text{ см}$$ и $$a_2 = 35 \text{ см}$$ - сходственные стороны подобных треугольников, $$S_1 = 27 \text{ см}^2$$ - площадь первого треугольника, $$S_2$$ - площадь второго треугольника.

   Коэффициент подобия $$k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{35}{7} = 5$$.

   Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то есть $$\frac{S_2}{S_1} = k^2 = 5^2 = 25$$.

   Следовательно, $$S_2 = S_1 \cdot k^2 = 27 \cdot 25 = 675 \text{ см}^2$$.

   Ответ: 675 см²