1. Рис. 857. ІІ вариант Дано: РЕ || NK, MP = 8, MN = 12, ΜΕ = 6. Найти: а) МК; 6) PE : NK; B) SMEP: SMKN- 2. В ДАВС АВ = 12 см, ВС = 18 см, ∠B = 70°, а в ДМИК MN = 6 см, NК = 9 см, ∠N = 70°. M Найдите сторону АС и угол С треугольника АВС, если МК = 7 см, ∠K = 60°. N P E K Рис. 857 3. Отрезки АВ и CD пересекаются в т. О так, что ∠ACO = ∠BDO, AO : ОВ = 2 : 3. Найдите периметр треугольника АСО, если периметр треугольника BOD равен 21 см. 4*. В трапеции ABCD (AD и ВС основания) диагонали пересекаются в точке O, SAOD = 32 CM², Sвос = 8 см². Найдите меньшее основание трапеции, если большее из них равно 10 см.

Решение задачи 1

Давай разберем по порядку!

a) Так как PE || NK, то треугольники MPE и MNK подобны по двум углам (угол M - общий, углы при PE и NK равны как соответственные при параллельных прямых PE и NK и секущей MN). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

\[\frac{MP}{MN} = \frac{ME}{MK}\]

Подставим известные значения: MP = 8, MN = 12, ME = 6. Получим:

\[\frac{8}{12} = \frac{6}{MK}\]

Решим уравнение относительно MK:

\[MK = \frac{6 \cdot 12}{8} = \frac{72}{8} = 9\]

б) Найдем отношение PE : NK. Из подобия треугольников MPE и MNK следует:

\[\frac{PE}{NK} = \frac{MP}{MN}\]

Подставим известные значения: MP = 8, MN = 12. Получим:

\[\frac{PE}{NK} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\]

в) Найдем отношение площадей S_MEP : S_MKN. Из подобия треугольников MPE и MNK следует, что отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:

\[\frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = \left(\frac{MP}{MN}\right)^2\]

Подставим известные значения: MP = 8, MN = 12. Получим:

\[\frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = \left(\frac{8}{12}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\]

Ответ: а) MK = 9; б) PE : NK = 2 : 3; в) S_MEP : S_MKN = 4 : 9

Решение задачи 2

Давай разберем по порядку! В треугольниках ABC и MNK, ∠B = ∠N = 70°. Найдем коэффициент подобия k:

\[k = \frac{AB}{MN} = \frac{12}{6} = 2\]

Поскольку треугольники подобны, все стороны треугольника ABC в 2 раза больше сторон треугольника MNK. Значит:

\[AC = 2 \cdot MK = 2 \cdot 7 = 14 \text{ см}\]

Углы в подобных треугольниках равны. Значит, ∠K = ∠C = 60°.

Ответ: AC = 14 см, ∠C = 60°

Решение задачи 3

Пусть AO = 2x, OB = 3x. Так как периметр треугольника BOD равен 21 см, можем записать:

\[P_{BOD} = BO + OD + BD = 21\]

Треугольники ACO и BDO подобны по двум углам (∠ACO = ∠BDO, ∠AOC = ∠BOD как вертикальные). Значит, коэффициент подобия k равен отношению сторон:

\[k = \frac{AO}{BO} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}\]

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Значит:

\[\frac{P_{ACO}}{P_{BOD}} = k\] \[P_{ACO} = P_{BOD} \cdot k = 21 \cdot \frac{2}{3} = 14 \text{ см}\]

Ответ: P_ACO = 14 см

Решение задачи 4

Пусть S_AOD = 32 см², S_BOC = 8 см². Обозначим площади треугольников AOB и COD как S_AOB = S_COD = x.

В трапеции ABCD площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны, то есть S_AOB = S_COD.

Используем свойство площадей треугольников, образованных диагоналями трапеции:

\[\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = \left(\frac{AD}{BC}\right)^2\]

Подставим известные значения:

\[\frac{32}{8} = \left(\frac{AD}{BC}\right)^2\] \[4 = \left(\frac{AD}{BC}\right)^2\] \[\frac{AD}{BC} = 2\]

Пусть BC = y, тогда AD = 2y. Из условия AD = 10 см (большее основание), тогда:

\[2y = 10\] \[y = 5\]

Тогда BC = 5 см.

Ответ: BC = 5 см