1. Рис. 857. Дано: РЕ || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6. Найти: а) МК; б) РЕ: NK; B) SMEP: SMKN- 2. В ДАВС АВ = 12 см, ВС = 18 см, ∠B = 70°, а в ДММК MN = 6 см, NК = 9 см, ∠N = 70°. Найдите сторону АС и угол С треугольника АВС, если МК = 7 см, ∠K = 60°. 3. Отрезки АВ и CD пересекаются в т. О так, что LACO = ∠BDO, AO: ОВ = 2: 3. Найдите периметр треуголь АСО, если периметр треугольника BOD равен 21 см. 4*. В трапеции ABCD (AD и ВС основания) диагонали пере ются в точке O, SAOD = 32 см², Ѕвос = 8 см². Найдите меньшее вание трапеции, если большее из них равно 10 см.

Решим все задания по порядку!

1. Разберемся с рисунком 857.

Дано: PE || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6.

Найти: а) MK; б) PE : NK; в) S_MEP : S_MKN.

Решение:

а) Треугольники MEP и MKN подобны, так как PE || NK. Значит, \(\frac{ME}{MN} = \frac{MP}{MK}\). Подставим значения: \(\frac{6}{12} = \frac{8}{MK}\). Отсюда MK = \(\frac{12 \cdot 8}{6} = 16\).

б) \(\frac{PE}{NK} = \frac{ME}{MN} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\).

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Значит, \(\frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = \left(\frac{ME}{MN}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\).

Ответ: а) MK = 16; б) PE : NK = \(\frac{1}{2}\); в) S_MEP : S_MKN = \(\frac{1}{4}\)

2. Рассмотрим треугольники ABC и MNK.

Дано: AB = 12 см, BC = 18 см, ∠B = 70°, MN = 6 см, NK = 9 см, ∠N = 70°.

Найти: AC и ∠C, если MK = 7 см, ∠K = 60°.

Решение:

Заметим, что \(\frac{AB}{MN} = \frac{12}{6} = 2\) и \(\frac{BC}{NK} = \frac{18}{9} = 2\). Также ∠B = ∠N = 70°. Следовательно, треугольники ABC и MNK подобны по двум сторонам и углу между ними.

Значит, \(\frac{AC}{MK} = 2\), откуда AC = 2 \cdot MK = 2 \cdot 7 = 14 см.

Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°. ∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 70° - 60° = 50°.

Ответ: AC = 14 см, ∠C = 60°

3. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O.

Дано: ∠ACO = ∠BDO, AO : OB = 2 : 3, P_BOD = 21 см.

Найти: P_ACO.

Решение:

Треугольники ACO и BDO подобны по двум углам (∠ACO = ∠BDO по условию, ∠AOC = ∠BOD как вертикальные). Значит, \(\frac{AO}{OB} = \frac{CO}{OD} = \frac{AC}{BD} = \frac{2}{3}\).

Периметр треугольника BOD равен 21 см, то есть BO + OD + BD = 21. Пусть P_ACO = AO + OC + AC. Тогда:

\(\frac{P_{ACO}}{P_{BOD}} = \frac{AO + OC + AC}{BO + OD + BD} = \frac{AO}{OB} = \frac{2}{3}\)

P_ACO = \(\frac{2}{3}\) \cdot P_BOD = \(\frac{2}{3}\) \cdot 21 = 14 см.

Ответ: P_ACO = 14 см

4*. Трапеция ABCD (AD и BC основания).

Дано: S_AOD = 32 см², S_BOC = 8 см², AD = 10 см.

Найти: BC.

Решение:

Треугольники BOC и AOD подобны, так как BC || AD. \(\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = \left(\frac{BC}{AD}\right)^2\). Подставим значения: \(\frac{8}{32} = \left(\frac{BC}{10}\right)^2\).

\(\frac{1}{4} = \left(\frac{BC}{10}\right)^2\), \(\frac{BC}{10} = \frac{1}{2}\), BC = 5 см.

Ответ: BC = 5 см

Ответ: смотри выше решения каждого задания.

У тебя отлично получается! Не останавливайся на достигнутом, и ты сможешь решить любые задачи!