1. Рис. 3.169. Дано: а || b, c – секущая, ∠1+∠2=102°. Найти: все образовавшиеся углы. 2. Рис. 3.170. Дано: ∠1= ∠2, ∠3=120°. Найти: ∠4. 3. Отрезок AD - биссектриса треугольника ABC. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне AB и пересекающая сторону AC в точке F. Найти углы треугольника ADF, если ∠BAC=72°. 4*. Прямая ЕК является секущей для прямых CD и MN (Е ∈ CD, K E MN). ∠DEK равен 65°. При каком значении угла NKE прямые CD и MN могут быть параллельными?

Давай разберем по порядку каждое задание.

1. Рис. 3.169.

Дано: a || b, c - секущая, \( \angle 1 + \angle 2 = 102^\circ \)

Найти: все образовавшиеся углы.

Решение:

1. \( \angle 1 = \angle 2 = \frac{102^\circ}{2} = 51^\circ \) (т.к. \( \angle 1 = \angle 2 \) по условию)
2. \( \angle 3 = 180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - 51^\circ = 129^\circ \) (т.к. \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) - смежные)
3. \( \angle 4 = \angle 3 = 129^\circ \) (т.к. \( \angle 3 \) и \( \angle 4 \) - вертикальные)
4. \( \angle 5 = \angle 1 = 51^\circ \) (т.к. \( \angle 1 \) и \( \angle 5 \) - соответственные при параллельных прямых a и b и секущей c)
5. \( \angle 6 = \angle 2 = 51^\circ \) (т.к. \( \angle 2 \) и \( \angle 6 \) - соответственные при параллельных прямых a и b и секущей c)
6. \( \angle 7 = \angle 3 = 129^\circ \) (т.к. \( \angle 3 \) и \( \angle 7 \) - соответственные при параллельных прямых a и b и секущей c)
7. \( \angle 8 = \angle 4 = 129^\circ \) (т.к. \( \angle 4 \) и \( \angle 8 \) - соответственные при параллельных прямых a и b и секущей c)

Ответ: \( \angle 1 = \angle 2 = 51^\circ, \angle 3 = \angle 4 = \angle 7 = \angle 8 = 129^\circ, \angle 5 = \angle 6 = 51^\circ \)

2. Рис. 3.170.

Дано: \( \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = 120^\circ \)

Найти: \( \angle 4 \)

Решение:

1. \( \angle 1 + \angle 3 = 180^\circ \) (т.к. \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) - смежные), следовательно, \( \angle 1 = 180^\circ - \angle 3 = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
2. \( \angle 2 = \angle 1 = 60^\circ \) (по условию)
3. \( \angle 4 = 180^\circ - \angle 2 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \) (т.к. \( \angle 2 \) и \( \angle 4 \) - смежные)

Ответ: \( \angle 4 = 120^\circ \)

3. Отрезок AD - биссектриса треугольника ABC.

Дано: AD - биссектриса треугольника ABC, DF || AB, \( \angle BAC = 72^\circ \)

Найти: углы треугольника ADF

Решение:

1. Т.к. AD - биссектриса, то \( \angle DAF = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ \)
2. \( \angle ADF = \angle BAC = 72^\circ \) (соответственные углы при параллельных прямых DF и AB и секущей AC)
3. \( \angle AFD = 180^\circ - \angle DAF - \angle ADF = 180^\circ - 36^\circ - 72^\circ = 72^\circ \) (сумма углов треугольника ADF равна 180°)

Ответ: \( \angle DAF = 36^\circ, \angle ADF = 72^\circ, \angle AFD = 72^\circ \)

4*. Прямая ЕК является секущей для прямых CD и MN.

Дано: EK - секущая для прямых CD и MN, E ∈ CD, K ∈ MN, \( \angle DEK = 65^\circ \)

Найти: при каком значении угла NKE прямые CD и MN могут быть параллельными.

Решение:

Для того чтобы прямые CD и MN были параллельными, необходимо, чтобы \( \angle DEK = \angle NKE \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых CD и MN и секущей EK, или чтобы \( \angle DEK + \angle EKM = 180^\circ \) как односторонние углы при параллельных прямых CD и MN и секущей EK. Т.к. \( \angle DEK = 65^\circ \), то \( \angle NKE = 65^\circ \) или \( \angle EKM = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \). Угол \( \angle NKE \) является смежным с углом \( \angle EKM \), значит \( \angle NKE = 180^\circ - \angle EKM = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ \)

Ответ: Прямые CD и MN будут параллельны, если \( \angle NKE = 65^\circ \)

Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!