1) Рис. 4.140. Найти: ∠CAD.

Question

Вопрос:

1) Рис. 4.140. Найти: ∠CAD. • 2) Рис. 4.141. Найти: AD. 3) Рис. 4.142. Дано: АС = DC = 4. Найти: BF. * 4) Рис. 4.143. Найти: MD. 5) В треугольнике АВС угол В – тупой. Продолжения высот АА₁, ВВ₁, СС, пересекаются в точке O, ∠AOC = 60°. Найдите ∠ABC. • 6) В треугольнике ABC ∠B = 90°, BD – высота, АВ = 2BD. Докажите, что ЗАС = 4AD. 7) В треугольнике ABC ∠C=90°, ∠B = 40°. На сторонах АВ и ВС отмечены точки D и Е соответственно, ∠EAD=5°, ∠ECD = 10°. Найдите ∠EDC. * 8) На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС взята точ-

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение: Решим задачи по геометрии, используя свойства углов и сторон в треугольниках.

Рассмотрим рисунок 4.140.

В прямоугольном треугольнике ABC:

AB = 16, BC = 8.
tg∠BAC = BC / AB = 8 / 16 = 1 / 2 = 0,5.
∠BAC = arctg(0,5) ≈ 26,57°.
∠CAD = 90° - ∠BAC ≈ 90° - 26,57° = 63,43°.

Ответ: ∠CAD ≈ 63,43°

2) Рис. 4.141. Найти: AD.

Рассмотрим рисунок 4.141.

В прямоугольном треугольнике BCD:

BC = 10, BD = 5.
sin∠BCD = BD / BC = 5 / 10 = 1 / 2 = 0,5.
∠BCD = arcsin(0,5) = 30°.
tg∠BCD = BD / CD.
CD = BD / tg∠BCD = 5 / tg30° = 5 / (1 / √3) = 5√3.

Тогда AD = AC - CD

AC = √(BC² - AB²) = √(10² - 5²) = √(100 - 25) = √75 = 5√3.
AD = AC - CD = 5√3 - 5√3 = 0.

Ответ: AD = 0

3) Рис. 4.142. Дано: АС = DC = 4. Найти: BF.

Рассмотрим рисунок 4.142.

Так как AC = DC, то треугольник ADC - равнобедренный.

∠CAD = ∠CDA = 30°.
∠ACD = 30°.
∠ADC = 180° - 2 * 30° = 120°.
∠BCF = 90° - ∠ACD = 90° - 30° = 60°.
∠CBF = 90° - ∠BCF = 90° - 60° = 30°.

В прямоугольном треугольнике BCF:

sin∠BCF = BF / BC.
BF = BC * sin∠BCF.
BC = AC * tg∠CAD = 4 * tg30° = 4 * (1 / √3) = 4√3 / 3.
BF = (4√3 / 3) * (√3 / 2) = 4 * 3 / (3 * 2) = 2.

Ответ: BF = 2

4) Рис. 4.143. Найти: MD.

Рассмотрим рисунок 4.143.

∠CDA = 90° - ∠CAD = 90° - 30° = 60°.
∠BCD = 90°.
∠MCD = 180° - ∠CDA = 180° - 60° = 120°.
∠MCA = ∠BCD - ∠MCD = 90° - 120° = -30°.

Треугольник AMC не существует, рисунок не соответствует условию.

5) В треугольнике АВС угол В – тупой. Продолжения высот АА₁, ВВ₁, СС, пересекаются в точке O, ∠AOC = 60°. Найдите ∠ABC.

∠AOC = 60°, значит ∠A₁BC₁ = 60° (как вертикальные).

В четырехугольнике A₁BC₁H, где H - точка пересечения высот, углы A₁ и C₁ прямые (высоты).

Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.

∠ABC = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°.

Ответ: ∠ABC = 120°

6) В треугольнике ABC ∠B = 90°, BD – высота, АВ = 2BD. Докажите, что ЗАС = 4AD.

Пусть BD = x, тогда AB = 2x.

В прямоугольном треугольнике ABD:

AD = √(AB² - BD²) = √((2x)² - x²) = √(4x² - x²) = √(3x²) = x√3.

В прямоугольном треугольнике ABC:

∠BAC = 30° (так как sin∠BAC = BC / AB = x / 2x = 1 / 2).
AC = AB / cos∠BAC = 2x / cos30° = 2x / (√3 / 2) = 4x / √3 = (4x√3) / 3.

3AC = 3 * (4x√3) / 3 = 4x√3.

4AD = 4 * x√3 = 4x√3.

Следовательно, 3AC = 4AD.

Что и требовалось доказать.

7) В треугольнике ABC ∠C=90°, ∠B = 40°. На сторонах АВ и ВС отмечены точки D и Е соответственно, ∠EAD=5°, ∠ECD = 10°. Найдите ∠EDC.

В треугольнике ABC: ∠A = 90° - ∠B = 90° - 40° = 50°.

∠DAC = ∠BAC - ∠EAD = 50° - 5° = 45°.
∠BEC = 90° - ∠B = 90° - 40° = 50°.
∠AEC = 180° - ∠BEC = 180° - 50° = 130°.
∠ECA = 10°.
∠CED = 180° - ∠AEC - ∠ECA = 180° - 130° - 10° = 40°.

В прямоугольном треугольнике DAC:

∠ADC = 90° - ∠DAC = 90° - 45° = 45°.
∠EDC = ∠ADC - ∠ADE = 45° - ∠ADE.

∠ADE = ∠EAD + ∠AED = 5° + ∠AED

В четырехугольнике AECD: ∠AED = 360° - 90° - 5° - 10° - 45°= 210°

∠ADE = 5° + (360° - 90° - 10° - 5°) = 260°

∠EDC = 45° - 260° = -215°.

Ответ: -215°

8) На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС взята точ-

Текст обрывается, невозможно решить задание.