6. Решите задачу. В треугольнике MNK MN = 9/2, МК = 18, а радиус описанной окружности равен 9. Найдите третью сторону и углы треугольника. Выберите правильный вариант ответа.

Решение:

1. Обозначим углы треугольника MNK как ∠M, ∠N и ∠K. По теореме синусов имеем: \[\frac{MN}{\sin K} = \frac{MK}{\sin N} = 2R\] где R - радиус описанной окружности.
2. Подставим известные значения: \[\frac{9\sqrt{2}}{\sin K} = \frac{18}{\sin N} = 2 \cdot 9 = 18\]
3. Найдем sin K: \[\sin K = \frac{9\sqrt{2}}{18} = \frac{\sqrt{2}}{2}\] Отсюда, ∠K = 45°.
4. Найдем sin N: \[\sin N = \frac{18}{18} = 1\] Отсюда, ∠N = 90°.
5. Теперь найдем ∠M: ∠M = 180° - ∠N - ∠K = 180° - 90° - 45° = 45°.
6. Найдем сторону NK, используя теорему Пифагора, так как треугольник MNK прямоугольный: \[MK^2 = MN^2 + NK^2\] \[18^2 = (9\sqrt{2})^2 + NK^2\] \[324 = 162 + NK^2\] \[NK^2 = 324 - 162 = 162\] \[NK = \sqrt{162} = 9\sqrt{2}\]

Ответ: 9√2; 45°; 45°; 90°