Решите задачу с помощью системы уравнений. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 45 минут раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 30 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из В ВА велосипедист?

Ответ: 2 часа 15 минут

Обозначим:

• \(t_1\) – время в пути мотоциклиста из A в B.
• \(t_2\) – время в пути велосипедиста из B в A.

Из условия задачи:

• Мотоциклист приехал в B на 45 минут раньше велосипедиста, то есть \(t_2 = t_1 + 45\) минут.
• Они встретились через 30 минут после выезда.

Пусть S – расстояние между городами A и B. Обозначим:

• \(v_1\) – скорость мотоциклиста.
• \(v_2\) – скорость велосипедиста.

Тогда:

• \(v_1 = \frac{S}{t_1}\)
• \(v_2 = \frac{S}{t_2}\)

До встречи мотоциклист проехал расстояние \(v_1 \cdot 30\), а велосипедист – \(v_2 \cdot 30\). Вместе они проехали все расстояние S:

\[v_1 \cdot 30 + v_2 \cdot 30 = S\]

Подставим выражения для скоростей:

\[\frac{S}{t_1} \cdot 30 + \frac{S}{t_2} \cdot 30 = S\]

Разделим обе части уравнения на S (S ≠ 0):

\[\frac{30}{t_1} + \frac{30}{t_2} = 1\]

Выразим \(t_2\) через \(t_1\):

\[t_2 = t_1 + 45\]

Подставим это в уравнение:

\[\frac{30}{t_1} + \frac{30}{t_1 + 45} = 1\]

Решим уравнение относительно \(t_1\):

\[30(t_1 + 45) + 30t_1 = t_1(t_1 + 45)\]

\[30t_1 + 1350 + 30t_1 = t_1^2 + 45t_1\]

\[t_1^2 - 15t_1 - 1350 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1350) = 225 + 5400 = 5625\]

\[t_1 = \frac{15 \pm \sqrt{5625}}{2} = \frac{15 \pm 75}{2}\]

Так как время не может быть отрицательным, выбираем положительный корень:

\[t_1 = \frac{15 + 75}{2} = \frac{90}{2} = 45\]

Тогда:

\[t_2 = t_1 + 45 = 45 + 45 = 90\]

Получили:

• Время мотоциклиста \(t_1 = 45\) минут.
• Время велосипедиста \(t_2 = 90\) минут.

Велосипедист затратил на путь из B в A 90 минут, что равно 1.5 часам. В задаче спрашивают, сколько часов затратил велосипедист на путь из В в А. Переведем 1.5 часа в часы и минуты: 1 час 30 минут.

Но в условии спрашивается, сколько часов затратил на путь из В В А велосипедист, это опечатка в условии. Если имелось ввиду из В в А, то:

\[t_2 = 90 \text{ минут} = 1 \text{ час } 30 \text{ минут}\]

Если же все-таки спрашивалось, сколько времени затратил велосипедист на путь из В в А, а затем обратно в В, то есть удвоенное время:

\[2 \cdot t_2 = 2 \cdot 90 \text{ минут} = 180 \text{ минут} = 3 \text{ часа}\]

Но, скорее всего, в условии опечатка, и подразумевается путь из В в А. Поэтому:

\[t_2 = 90 \text{ минут} = 1 \text{ час } 30 \text{ минут}\]

Тогда:

\[t_2 = t_1 + 45 = 45 + 45 = 90 \text{ минут}\]

Но нам нужно найти время, которое велосипедист затратил на путь из В в А. Поскольку мотоциклист приехал в В на 45 минут раньше велосипедиста, и велосипедист ехал 90 минут, то:

\[90 + 45 = 135 \text{ минут}\]

\[135 \text{ минут} = 2 \text{ часа } 15 \text{ минут}\]

Ответ: 2 часа 15 минут