Решите задачу Коши: y' = 1 / (1 + √x), y(0) = 0. Уравнение имеет вид...

Решение задачи Коши:

Дано дифференциальное уравнение \( y' = \frac{1}{1+\sqrt{x}} \) с начальным условием \( y(0) = 0 \).

1. Проинтегрируем обе части уравнения по \( x \):
   $$ y = \int \frac{1}{1+\sqrt{x}} dx $$
2. Сделаем замену переменной: пусть \( u = \sqrt{x} \), тогда \( u^2 = x \), и \( 2u du = dx \).
3. Подставим замену в интеграл: $$ y = \int \frac{1}{1+u} \cdot 2u du = 2 \int \frac{u}{1+u} du $$
4. Преобразуем подынтегральное выражение:
   $$ \frac{u}{1+u} = \frac{(1+u) - 1}{1+u} = 1 - \frac{1}{1+u} $$
5. Проинтегрируем: $$ y = 2 \int \left( 1 - \frac{1}{1+u} \right) du = 2(u - \ln|1+u|) + C $$
6. Вернемся к исходной переменной, подставив \( u = \sqrt{x} \): $$ y = 2(\sqrt{x} - \ln|1+\sqrt{x}|) + C $$
7. Применим начальное условие \( y(0) = 0 \): $$ 0 = 2(\sqrt{0} - \ln|1+\sqrt{0}|) + C \\ 0 = 2(0 - \ln(1)) + C \\ 0 = 2(0 - 0) + C \\ C = 0 $$
8. Таким образом, решение задачи Коши: $$ y = 2(\sqrt{x} - \ln(1+\sqrt{x})) $$

Ответ: y = 2(√x - ln(1+√x)).