Решите задачу Коши xy' + y = y^2/6, y(1) = 3. В ответе укажите значение ее решения при x = 1.

Решение задачи Коши

Данное уравнение является уравнением Бернулли. Общий вид уравнения Бернулли: \( y' + P(x)y = Q(x)y^n \).

В нашем случае: \( xy' + y = \frac{y^2}{6} \). Разделим обе части на \( x \) (при \( x \neq 0 \)):

\( y' + \frac{1}{x}y = \frac{1}{6x}y^2 \)

Это уравнение Бернулли с \( n=2 \).

Сделаем замену \( z = y^{1-n} = y^{1-2} = y^{-1} \). Тогда \( z' = -y^{-2}y' \), откуда \( y' = -y^2 z' \).

Подставим в уравнение:

\( -y^2 z' + \frac{1}{x}y = \frac{1}{6x}y^2 \)

Разделим обе части на \( -y^2 \):

\( z' - \frac{1}{xy} = -\frac{1}{6x} \)

\( z' - \frac{1}{x}y^{-1} = -\frac{1}{6x} \)

\( z' - \frac{1}{x}z = -\frac{1}{6x} \)

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Найдем решение однородного уравнения \( z' - \frac{1}{x}z = 0 \):

\( z' = \frac{1}{x}z \)

\( \frac{dz}{dx} = \frac{1}{x}z \)

\( \frac{dz}{z} = \frac{dx}{x} \)

Интегрируем:

\( \int \frac{dz}{z} = \int \frac{dx}{x} \)

\( \ln|z| = \ln|x| + C \)

\( z = C_1 x \), где \( C_1 = 00B1 e^C \).

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения методом вариации постоянной. Пусть \( z = C_1(x)x \).

\( z' = C_1'(x)x + C_1(x) \)

Подставим в \( z' - \frac{1}{x}z = -\frac{1}{6x} \):

\( (C_1'(x)x + C_1(x)) - \frac{1}{x}(C_1(x)x) = -\frac{1}{6x} \)

\( C_1'(x)x + C_1(x) - C_1(x) = -\frac{1}{6x} \)

\( C_1'(x)x = -\frac{1}{6x} \)

\( C_1'(x) = -\frac{1}{6x^2} \)

Интегрируем:

\( C_1(x) = \int -\frac{1}{6x^2} dx = -\frac{1}{6} \int x^{-2} dx = -\frac{1}{6} \frac{x^{-1}}{-1} + C_2 = \frac{1}{6x} + C_2 \)

Общее решение для \( z \):

\( z(x) = (\frac{1}{6x} + C_2)x = \frac{1}{6} + C_2 x \)

Вернемся к \( y \): \( z = y^{-1} \), значит \( y = z^{-1} \).

\( y(x) = \frac{1}{\frac{1}{6} + C_2 x} = \frac{6}{1 + 6C_2 x} \)

Обозначим \( C = 6C_2 \). Тогда \( y(x) = \frac{6}{1 + Cx} \).

Используем начальное условие \( y(1) = 3 \):

\( 3 = \frac{6}{1 + C 00B7 1} \)

\( 3(1 + C) = 6 \)

\( 1 + C = 2 \)

\( C = 1 \)

Итак, решение задачи Коши:

\( y(x) = \frac{6}{1 + x} \)

Требуется найти значение решения при \( x = 1 \).

\( y(1) = \frac{6}{1 + 1} = \frac{6}{2} = 3 \).

Ответ: 3