Решите задачу Коши (x³ + x)y' - (3x² - 1)y = 0, y(-1) = 8. В ответе укажите значение при х = -2.

Решение:

Данное дифференциальное уравнение является линейным однородным уравнением первого порядка. Приведём его к стандартному виду:

\( y' - \frac{3x^2 - 1}{x^3 + x} y = 0 \)

Разделим переменные:

\( \frac{dy}{y} = \frac{3x^2 - 1}{x^3 + x} dx \)

Проинтегрируем обе части:

\[ \int \frac{dy}{y} = \int \frac{3x^2 - 1}{x^3 + x} dx \]

Левая часть интегрируется легко:

\[ \int \frac{dy}{y} = \ln|y| \]

Для правой части сделаем замену \( u = x^3 + x \), тогда \( du = (3x^2 + 1) dx \). Обратите внимание, что в числителе \( 3x^2 - 1 \), а не \( 3x^2 + 1 \). Это означает, что такое простое интегрирование не получится. Попробуем представить дробь иначе:

\[ \frac{3x^2 - 1}{x^3 + x} = \frac{3x^2 - 1}{x(x^2 + 1)} \]

Представим эту дробь в виде суммы простых дробей:

\[ \frac{3x^2 - 1}{x(x^2 + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1} \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ 3x^2 - 1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x \]

\[ 3x^2 - 1 = Ax^2 + A + Bx^2 + Cx \]

\[ 3x^2 - 1 = (A + B)x^2 + Cx + A \]

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях \( x \):

• При \( x^2 \): \( A + B = 3 \)
• При \( x \): \( C = 0 \)
• Свободный член: \( A = -1 \)

Подставим \( A = -1 \) в первое уравнение:

\[ -1 + B = 3 \implies B = 4 \]

Таким образом, разложение дроби:

\[ \frac{3x^2 - 1}{x(x^2 + 1)} = \frac{-1}{x} + \frac{4x}{x^2 + 1} \]

Теперь проинтегрируем правую часть:

\[ \int \left( \frac{-1}{x} + \frac{4x}{x^2 + 1} \right) dx = \int \frac{-1}{x} dx + \int \frac{4x}{x^2 + 1} dx \]

Первый интеграл: \( -\ln|x| \).

Для второго интеграла сделаем замену \( t = x^2 + 1 \), \( dt = 2x dx \). Тогда \( 4x dx = 2 dt \).

\[ \int \frac{2 dt}{t} = 2 \ln|t| = 2 \ln(x^2 + 1) \]

Итак, правая часть интегрируется как:

\[ -\ln|x| + 2 \ln(x^2 + 1) = \ln\left( \frac{(x^2 + 1)^2}{|x|} \right) \]

Приравниваем левую и правую части:

\[ \ln|y| = \ln\left( \frac{(x^2 + 1)^2}{|x|} \right) + C_1 \]

\[ |y| = e^{C_1} \frac{(x^2 + 1)^2}{|x|} \]

\[ y = C \frac{(x^2 + 1)^2}{|x|} \]

Используем начальное условие \( y(-1) = 8 \):

\[ 8 = C \frac{((-1)^2 + 1)^2}{|-1|} \]

\[ 8 = C \frac{(1 + 1)^2}{1} \]

\[ 8 = C \cdot 4 \]

\[ C = 2 \]

Таким образом, частное решение:

\[ y(x) = 2 \frac{(x^2 + 1)^2}{|x|} \]

Нам нужно найти значение \( y \) при \( x = -2 \). Учитывая, что \( x = -2 \) отрицательное, \( |x| = -x = -(-2) = 2 \).

\[ y(-2) = 2 \frac{((-2)^2 + 1)^2}{|-2|} = 2 \frac{(4 + 1)^2}{2} \]

\[ y(-2) = \frac{(5)^2}{1} = 25 \]

Перепроверим решение.

Дифференциальное уравнение: \( (x^3+x)y' - (3x^2-1)y = 0 \)

Подставим \( y(x) = C \frac{(x^2+1)^2}{|x|} \). Для \( x < 0 \), \( y(x) = C \frac{(x^2+1)^2}{-x} \).

Найдем \( y'(x) \) для \( x < 0 \):

\[ y'(x) = C \frac{2(x^2+1)(2x)(-x) - (x^2+1)^2(-1)}{(-x)^2} = C \frac{-4x^2(x^2+1) + (x^2+1)^2}{x^2} \]

\[ y'(x) = C \frac{(x^2+1)(-4x^2 + x^2+1)}{x^2} = C \frac{(x^2+1)(-3x^2+1)}{x^2} \]

Подставим в уравнение:

\[ \left( x^3+x \right) C \frac{(x^2+1)(-3x^2+1)}{x^2} - (3x^2-1) C \frac{(x^2+1)^2}{-x} = 0 \]

\[ x(x^2+1) C \frac{(x^2+1)(-3x^2+1)}{x^2} + (3x^2-1) C \frac{(x^2+1)^2}{x} = 0 \]

Сократим на \( C \frac{(x^2+1)}{x} \) (при условии \( x \neq 0, x^2+1 \neq 0 \)):

\[ (x^2+1)(-3x^2+1) + (3x^2-1)(x^2+1) = 0 \]

\[ (x^2+1) [(-3x^2+1) + (3x^2-1)] = 0 \]

\[ (x^2+1) [0] = 0 \]

\[ 0 = 0 \]

Уравнение решается верно. Теперь проверим начальное условие и конечный результат.

\( y(-1) = 8 \)

\[ y(-1) = C \frac{((-1)^2+1)^2}{|-1|} = C \frac{(1+1)^2}{1} = 4C \]

\[ 4C = 8 \implies C = 2 \]

\( y(x) = 2 \frac{(x^2+1)^2}{|x|} \)

Теперь найдём \( y(-2) \):

\[ y(-2) = 2 \frac{((-2)^2+1)^2}{|-2|} = 2 \frac{(4+1)^2}{2} = 5^2 = 25 \]

Возможно, в ответе, указанном на скриншоте (40), допущена ошибка.

Ответ: 25