Решите задачу аналитическим и графическим способами. Дано: Функция спроса на товар Qd=15-4P Функция предложения Qs = -3 + 5P Количество товара выражается – в тыс. единиц в неделю, цены – в тыс. руб. за единицу товара. Определить: 1. Равновесную цену и равновесный объем на данном рынке. 2. Коэффициенты прямой эластичности спроса и предложения по цене на интервале цен от 2 тыс. руб. за ед. до 3 тыс. руб. за ед. 3. Излишки потребителя и производителя. Чистый общественный выигрыш. 4. Государство ввело потоварный налог на данный товар в размере 1 тыс. руб на единицу продукции. Налог уплачивается продавцами товара. Определите новые равновесные объем спроса и цену. 5. Рассчитайте сумму денежных поступлений в госбюджет от уплаты налога. На кого введение потоварного налога окажет большее влияние - на продавца или покупателя? 6. Рассчитайте излишки потребителя и производителя после введения налога. Определите сумму чистых потерь общества, связанных с введением

1. Равновесная цена и объем

Равновесие достигается, когда функция спроса равна функции предложения: \( Qd = Qs \).

\( 15 - 4P = -3 + 5P \)

\( 15 + 3 = 5P + 4P \)

\( 18 = 9P \)

\( P = \frac{18}{9} = 2 \) тыс. руб.

Подставим равновесную цену в функцию спроса (или предложения):

\( Qd = 15 - 4(2) = 15 - 8 = 7 \) тыс. единиц.

Ответ: Равновесная цена \( P_e = 2 \) тыс. руб., равновесный объем \( Q_e = 7 \) тыс. единиц.

2. Коэффициенты эластичности спроса и предложения

Эластичность спроса по цене (E_d):

\( E_d = \frac{\% \Delta Qd}{\% \Delta P} = \frac{\Delta Qd}{\Delta P} \cdot \frac{P}{Q} \)

Найдем производную функции спроса по цене:

\( \frac{dQd}{dP} = -4 \)

На интервале цен от 2 до 3 тыс. руб.:

При \( P_1 = 2 \), \( Q_1 = 7 \)

При \( P_2 = 3 \), \( Q_2 = 15 - 4(3) = 15 - 12 = 3 \)

\( \Delta P = 3 - 2 = 1 \)

\( \Delta Qd = 3 - 7 = -4 \)

\( E_d = \frac{-4}{1} \cdot \frac{2}{7} = - \frac{8}{7} \approx -1.14 \)

Эластичность предложения по цене (E_s):

\( E_s = \frac{\% \Delta Qs}{\% \Delta P} = \frac{\Delta Qs}{\Delta P} \cdot \frac{P}{Q} \)

Найдем производную функции предложения по цене:

\( \frac{dQs}{dP} = 5 \)

На интервале цен от 2 до 3 тыс. руб.:

При \( P_1 = 2 \), \( Q_1 = 7 \)

При \( P_2 = 3 \), \( Q_2 = -3 + 5(3) = -3 + 15 = 12 \)

\( \Delta P = 3 - 2 = 1 \)

\( \Delta Qs = 12 - 7 = 5 \)

\( E_s = \frac{5}{1} \cdot \frac{2}{7} = \frac{10}{7} \approx 1.43 \)

Ответ: Коэффициент эластичности спроса \( E_d \approx -1.14 \). Коэффициент эластичности предложения \( E_s \approx 1.43 \).

3. Излишки потребителя и производителя. Чистый общественный выигрыш

Излишек потребителя (CS): Площадь треугольника под кривой спроса и над равновесной ценой.

Максимальная цена, которую готовы заплатить потребители (когда \( Q=0 \) для спроса): \( 0 = 15 - 4P \Rightarrow 4P = 15 \Rightarrow P = 3.75 \) тыс. руб.

\( CS = \frac{1}{2} \times (3.75 - 2) \times 7 = \frac{1}{2} \times 1.75 \times 7 = 6.125 \) тыс. руб.

Излишек производителя (PS): Площадь треугольника над кривой предложения и под равновесной ценой.

Минимальная цена, по которой производители готовы предложить товар (когда \( Q=0 \) для предложения): \( 0 = -3 + 5P \Rightarrow 5P = 3 \Rightarrow P = 0.6 \) тыс. руб.

\( PS = \frac{1}{2} \times (2 - 0.6) \times 7 = \frac{1}{2} \times 1.4 \times 7 = 4.9 \) тыс. руб.

Чистый общественный выигрыш (TW): Сумма излишков потребителя и производителя.

\( TW = CS + PS = 6.125 + 4.9 = 11.025 \) тыс. руб.

Ответ: Излишек потребителя \( CS = 6.125 \) тыс. руб., излишек производителя \( PS = 4.9 \) тыс. руб., чистый общественный выигрыш \( TW = 11.025 \) тыс. руб.

4. Новые равновесные объем и цена после введения налога

Налог в размере 1 тыс. руб. уплачивается продавцами. Это значит, что функция предложения сдвигается вверх на величину налога.

Новая функция предложения (S'): \( Qs' = -3 + 5(P - t) \), где \( t = 1 \) (сумма налога).

\( Qs' = -3 + 5(P - 1) = -3 + 5P - 5 = -8 + 5P \)

Новое равновесие: \( Qd = Qs' \)

\( 15 - 4P = -8 + 5P \)

\( 15 + 8 = 5P + 4P \)

\( 23 = 9P \)

\( P = \frac{23}{9} \approx 2.56 \) тыс. руб. (цена, которую платят покупатели).

Чтобы найти цену, которую получают продавцы, вычтем налог:

\( P_{seller} = P - t = 2.56 - 1 = 1.56 \) тыс. руб.

Новый равновесный объем:

\( Qd = 15 - 4(2.56) = 15 - 10.24 = 4.76 \) тыс. единиц.

Или из функции предложения \( Qs' = -8 + 5(2.56) = -8 + 12.8 = 4.8 \) (небольшая разница из-за округления).

Ответ: Новая равновесная цена (для покупателей) \( P_{buyer} \approx 2.56 \) тыс. руб., новый равновесный объем \( Q' \approx 4.76 \) тыс. единиц.

5. Денежные поступления в госбюджет и влияние налога

Сумма денежных поступлений в госбюджет:

\( Tax Revenue = Налог \times Новый_объем = 1 \times 4.76 = 4.76 \) тыс. руб.

Влияние налога:

Чтобы определить, на кого налог окажет большее влияние, сравним изменение цены для покупателя и продавца.

Изменение цены для покупателя: \( \Delta P_{buyer} = P_{buyer} - P_e = 2.56 - 2 = 0.56 \) тыс. руб.

Изменение цены для продавца (получаемой цены): \( \Delta P_{seller} = P_e - P_{seller} = 2 - 1.56 = 0.44 \) тыс. руб.

Поскольку \( |\Delta P_{buyer}| > |\Delta P_{seller}| \) (0.56 > 0.44), налог окажет большее влияние на покупателя.

Это также можно увидеть из эластичности: спрос менее эластичен, чем предложение (\( |-1.14| < 1.43 \)), поэтому основная тяжесть налога ложится на покупателя.

Ответ: Денежные поступления в госбюджет составят \( 4.76 \) тыс. руб. Введение потоварного налога окажет большее влияние на покупателя.

6. Излишки потребителя и производителя после введения налога. Чистые потери общества

Новый излишек потребителя (CS'):

\( CS' = \frac{1}{2} \times (3.75 - 2.56) \times 4.76 = \frac{1}{2} \times 1.19 \times 4.76 = 2.8372 \) тыс. руб.

Новый излишек производителя (PS'):

\( PS' = \frac{1}{2} \times (1.56 - 0.6) \times 4.76 = \frac{1}{2} \times 0.96 \times 4.76 = 2.2848 \) тыс. руб.

Сумма чистых потерь общества (DWL - Deadweight Loss):

Чистые потери общества — это потерянная часть общественного выигрыша, которая не достается ни потребителям, ни производителям, ни государству.

\( DWL = \frac{1}{2} \times Налог \times (Q_e - Q') = \frac{1}{2} \times 1 \times (7 - 4.76) = \frac{1}{2} \times 2.24 = 1.12 \) тыс. руб.

Также можно рассчитать как разницу между старым общим выигрышем и суммой новых излишков и налоговых поступлений:

\( DWL = TW - CS' - PS' - Tax Revenue = 11.025 - 2.8372 - 2.2848 - 4.76 = 11.025 - 9.882 = 1.143 \) (небольшая разница из-за округлений).

Ответ: Новый излишек потребителя \( CS' \approx 2.84 \) тыс. руб., новый излишек производителя \( PS' \approx 2.28 \) тыс. руб. Сумма чистых потерь общества \( DWL \approx 1.12 \) тыс. руб.