Решите задачи: Часть 1. Практическая работа на тему: «Комбинаторика» №1. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4? (цифры могут повторяться). №2. На обед в столовой можно выбрать гречку с курицей, пюре с котлетой, борщ или грибной суп, запить можно чаем с лимоном, какао или соком. Сколько вариантов обеда есть? №3. В коридоре 4 лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора? (включая случай, когда все лампочки не горят). №4. В пакете лежат 4 предмета: шампунь, пена для бритья, гель для душа, бритвенный станок. Сколькими способами можно расставить различные предметы на столе? Часть 2. (Задачи с использованием факториала) №5. Сколькими способами можно расставить 9 участников Мирового финального забега на девяти беговых дорожках? №6. Компания ребят, которые состоят из 8 человек, посещают кофе каждый день. Они решили, что каждый день они будут рассаживаться на восемь стульев по-новому. Сколько дней компания смогут рассаживать без остановки? №7. Заполни таблицу факториалов от 5 до 12. n n! 5 6 д 7 8 9 10 11 12 Часть 3. (Задачи на комбинаторику (размещение, сочетание, перестановки)) №8. Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными полосами из материалов 8-ми различных цветов? №9. Сколькими способами можно выбрать четырех дежурных из группы в 16 человек? №10. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10? (Если каждая цифра рассматривается один раз).

Решение задач по комбинаторике:

Часть 1

№1. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 (цифры могут повторяться)?

Логика такая: Для каждой позиции в двузначном числе есть 4 варианта цифр. Поэтому общее количество чисел равно:

\[4 \cdot 4 = 16\]

Ответ: 16

№2. На обед в столовой можно выбрать гречку с курицей, пюре с котлетой, борщ или грибной суп, запить можно чаем с лимоном, какао или соком. Сколько вариантов обеда есть?

Смотри, тут всё просто: Есть 4 варианта блюд и 3 варианта напитков. Общее количество вариантов обеда:

\[4 \cdot 3 = 12\]

Ответ: 12

№3. В коридоре 4 лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора (включая случай, когда все лампочки не горят)?

Разбираемся: Каждая лампочка может быть включена или выключена, то есть 2 состояния. Для 4 лампочек общее количество состояний:

\[2^4 = 16\]

Ответ: 16

№4. В пакете лежат 4 предмета: шампунь, пена для бритья, гель для душа, бритвенный станок. Сколькими способами можно расставить различные предметы на столе?

Тут у нас перестановка 4 объектов, поэтому:

\[4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\]

Ответ: 24

Часть 2 (Задачи с использованием факториала)

№5. Сколькими способами можно расставить 9 участников Мирового финального забега на девяти беговых дорожках?

Это перестановка 9 объектов:

\[9! = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 362880\]

Ответ: 362880

№6. Компания ребят, которые состоят из 8 человек, посещают кофе каждый день. Они решили, что каждый день они будут рассаживаться на восемь стульев по-новому. Сколько дней компания смогут рассаживать без остановки?

Это перестановка 8 объектов:

\[8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 40320\]

Ответ: 40320

№7. Заполните таблицу факториалов от 5 до 12.

Часть 3 (Задачи на комбинаторику (размещение, сочетание, перестановки))

№8. Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными полосами из материалов 8-ми различных цветов?

Это размещение 3 цветов из 8:

\[A(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336\]

Ответ: 336

№9. Сколькими способами можно выбрать четырех дежурных из группы в 16 человек?

Это сочетание 4 человек из 16:

\[C(16, 4) = \frac{16!}{4!(16-4)!} = \frac{16!}{4!12!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1820\]

Ответ: 1820

№10. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10? (Если каждая цифра рассматривается один раз).

У нас 8 цифр (от 3 до 10). Нужно составить пятизначное число, где каждая цифра используется один раз. Это размещение 5 цифр из 8:

\[A(8, 5) = \frac{8!}{(8-5)!} = \frac{8!}{3!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 6720\]

Ответ: 6720