Решите: x^2 – 2x - 24 < 0

Решение:

Чтобы решить неравенство \( x^2 - 2x - 24 < 0 \), сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения \( x^2 - 2x - 24 = 0 \).

1. Найдём дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 \]
2. Найдём корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 10}{2} \]
3. \( x_1 = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)
4. \( x_2 = \frac{2 - 10}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

Теперь у нас есть два корня: \( -4 \) и \( 6 \). Они разбивают числовую ось на три интервала: \( (-\infty, -4) \), \( (-4, 6) \) и \( (6, \infty) \).

Проверим знак выражения \( x^2 - 2x - 24 \) на каждом интервале:

• Возьмём \( x = -5 \) (интервал \( (-\infty, -4) \)): \( (-5)^2 - 2(-5) - 24 = 25 + 10 - 24 = 11 > 0 \).
• Возьмём \( x = 0 \) (интервал \( (-4, 6) \)): \( 0^2 - 2(0) - 24 = -24 < 0 \).
• Возьмём \( x = 7 \) (интервал \( (6, \infty) \)): \( 7^2 - 2(7) - 24 = 49 - 14 - 24 = 11 > 0 \).

Нам нужно найти интервал, где \( x^2 - 2x - 24 < 0 \). Это интервал \( (-4, 6) \).

Ответ: -4 < x < 6.