Решите уравнения: sin x = -1 tgx = 1 2 cos x - sinx cos = 0 √3 -cosx - sinx = 0 3 cos²x + 2cosx-3=0 1 | cos²x+2sinxcosx-3 sin x = 0 sin²x + 2 sin x cosx-3cosx = 0

Решение:

1) \[ sinx = -1 \] Это табличное значение синуса. Синус равен -1 в угле \(\frac{3\pi}{2}\) (270 градусов). Общее решение: \[ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] 2) \[ tgx = 1 \] Это табличное значение тангенса. Тангенс равен 1 в угле \(\frac{\pi}{4}\) (45 градусов). Общее решение: \[ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] 3) \[ 2cosx - sinxcosx = 0 \] Вынесем cosx за скобку: \[ cosx(2 - sinx) = 0 \] Получаем два случая: а) \[ cosx = 0 \] Решение: \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] б) \[ 2 - sinx = 0 \] \[ sinx = 2 \] Это невозможно, так как \(|sinx| \le 1\) для всех x. 4) \[-\frac{\sqrt{3}}{3}cosx - sinx = 0 \] Умножим обе части уравнения на 3: \[-\sqrt{3}cosx - 3sinx = 0 \] Разделим обе части уравнения на \( cosx \) при условии, что \( cosx
eq 0 \): \[-\sqrt{3} - 3tgx = 0 \] \[tgx = -\frac{\sqrt{3}}{3} \] Это табличное значение тангенса. \( tgx = -\frac{\sqrt{3}}{3} \) при \( x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \) Проверим условие \( cosx
eq 0 \): если \( cosx = 0 \), то \( sinx = \pm 1 \), и уравнение не выполняется. Значит, это решение подходит. 5) \[ cos^2 x + 2cosx - 3 = 0 \] Сделаем замену \( t = cosx \), тогда уравнение примет вид: \[ t^2 + 2t - 3 = 0 \] Решим квадратное уравнение: Дискриминант: \[ D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \] Корни: \[ t_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \] \[ t_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \] Вернемся к замене: а) \[ cosx = 1 \] Решение: \[ x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] б) \[ cosx = -3 \] Это невозможно, так как \(|cosx| \le 1\) для всех x. 6) \[cos^2x+2sinxcosx-3 sin^2 x = 0\] Разделим уравнение на \[cos^2x\] при условии, что \[cosx
eq 0\]: \[1+2tgx-3tg^2 x = 0\] Сделаем замену \[t = tgx\]: \[3t^2 - 2t - 1 = 0\] Дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16 \] Корни: \[ t_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{6} = \frac{2 + 4}{6} = 1 \] \[ t_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{6} = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{1}{3} \] а) \[tgx = 1 \] Решение: \[ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] б) \[tgx = -\frac{1}{3} \] Решение: \[ x = arctg(-\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] 7) \[ sin^2 x + 2 sin x cosx-3cos^2 x = 0\] Разделим уравнение на \[cos^2x\] при условии, что \[cosx
eq 0\]: \[tg^2x+2tgx-3 = 0\] Сделаем замену \[t = tgx\]: \[t^2 + 2t - 3 = 0\] Дискриминант: \[ D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \] Корни: \[ t_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \] \[ t_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \] а) \[tgx = 1 \] Решение: \[ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] б) \[tgx = -3 \] Решение: \[ x = arctg(-3) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: 1) \[ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \]; 2) \[ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \]; 3) \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \]; 4) \( x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \); 5) \[ x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \]; 6) \[ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \], \[ x = arctg(-\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \]; 7) \[ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \], \[ x = arctg(-3) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \]