Решите уравнения: #1. 3x⁴-7x²-6=0 #2. 1/(x²-3x+3) + 2/(x²-3x+4) = 6/(x²-3x+5) #3. (x²-2x)²-3x²+6x-4=0 #4. x(x+3)(x+5)(x+8)+56=0 #5. 6/((x+1)(x+2)) + 8/((x-1)(x+4)) =1

Решение уравнений:

#1. 3x⁴ - 7x² - 6 = 0

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену: y = x².

Тогда уравнение примет вид: 3y² - 7y - 6 = 0.

Решим квадратное уравнение:

D = (-7)² - 4 * 3 * (-6) = 49 + 72 = 121

y₁ = (7 + √121) / (2 * 3) = (7 + 11) / 6 = 18 / 6 = 3

y₂ = (7 - √121) / (2 * 3) = (7 - 11) / 6 = -4 / 6 = -2/3

Вернемся к замене:

x² = 3 => x₁ = √3, x₂ = -√3

x² = -2/3 (не имеет решения, так как квадрат числа не может быть отрицательным)

Ответ: x₁ = √3, x₂ = -√3

---

#2. 1/(x² - 3x + 3) + 2/(x² - 3x + 4) = 6/(x² - 3x + 5)

Сделаем замену: y = x² - 3x.

Тогда уравнение примет вид: 1/(y + 3) + 2/(y + 4) = 6/(y + 5)

Приведем к общему знаменателю:

((y + 4) + 2(y + 3)) / ((y + 3)(y + 4)) = 6/(y + 5)

(y + 4 + 2y + 6) / (y² + 7y + 12) = 6/(y + 5)

(3y + 10) / (y² + 7y + 12) = 6/(y + 5)

(3y + 10)(y + 5) = 6(y² + 7y + 12)

3y² + 15y + 10y + 50 = 6y² + 42y + 72

3y² + 25y + 50 = 6y² + 42y + 72

0 = 3y² + 17y + 22

Решим квадратное уравнение:

D = 17² - 4 * 3 * 22 = 289 - 264 = 25

y₁ = (-17 + √25) / (2 * 3) = (-17 + 5) / 6 = -12 / 6 = -2

y₂ = (-17 - √25) / (2 * 3) = (-17 - 5) / 6 = -22 / 6 = -11/3

Вернемся к замене:

x² - 3x = -2 => x² - 3x + 2 = 0

D = (-3)² - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1

x₁ = (3 + √1) / 2 = (3 + 1) / 2 = 4 / 2 = 2

x₂ = (3 - √1) / 2 = (3 - 1) / 2 = 2 / 2 = 1

x² - 3x = -11/3 => x² - 3x + 11/3 = 0

3x² - 9x + 11 = 0

D = (-9)² - 4 * 3 * 11 = 81 - 132 = -51 (не имеет решения, так как дискриминант отрицательный)

Ответ: x₁ = 2, x₂ = 1

---

#3. (x² - 2x)² - 3x² + 6x - 4 = 0

Заметим, что -3x² + 6x = -3(x² - 2x). Сделаем замену: y = x² - 2x.

Тогда уравнение примет вид: y² - 3y - 4 = 0

D = (-3)² - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25

y₁ = (3 + √25) / (2 * 1) = (3 + 5) / 2 = 8 / 2 = 4

y₂ = (3 - √25) / (2 * 1) = (3 - 5) / 2 = -2 / 2 = -1

Вернемся к замене:

x² - 2x = 4 => x² - 2x - 4 = 0

D = (-2)² - 4 * 1 * (-4) = 4 + 16 = 20

x₁ = (2 + √20) / 2 = (2 + 2√5) / 2 = 1 + √5

x₂ = (2 - √20) / 2 = (2 - 2√5) / 2 = 1 - √5

x² - 2x = -1 => x² - 2x + 1 = 0 => (x - 1)² = 0 => x = 1

Ответ: x₁ = 1 + √5, x₂ = 1 - √5, x = 1

---

#4. x(x + 3)(x + 5)(x + 8) + 56 = 0

Перегруппируем множители: (x(x + 8))((x + 3)(x + 5)) + 56 = 0

(x² + 8x)(x² + 8x + 15) + 56 = 0

Сделаем замену: y = x² + 8x.

Тогда уравнение примет вид: y(y + 15) + 56 = 0

y² + 15y + 56 = 0

D = 15² - 4 * 1 * 56 = 225 - 224 = 1

y₁ = (-15 + √1) / (2 * 1) = (-15 + 1) / 2 = -14 / 2 = -7

y₂ = (-15 - √1) / (2 * 1) = (-15 - 1) / 2 = -16 / 2 = -8

Вернемся к замене:

x² + 8x = -7 => x² + 8x + 7 = 0

D = 8² - 4 * 1 * 7 = 64 - 28 = 36

x₁ = (-8 + √36) / (2 * 1) = (-8 + 6) / 2 = -2 / 2 = -1

x₂ = (-8 - √36) / (2 * 1) = (-8 - 6) / 2 = -14 / 2 = -7

x² + 8x = -8 => x² + 8x + 8 = 0

D = 8² - 4 * 1 * 8 = 64 - 32 = 32

x₃ = (-8 + √32) / (2 * 1) = (-8 + 4√2) / 2 = -4 + 2√2

x₄ = (-8 - √32) / (2 * 1) = (-8 - 4√2) / 2 = -4 - 2√2

Ответ: x₁ = -1, x₂ = -7, x₃ = -4 + 2√2, x₄ = -4 - 2√2

---

#5. 6/((x + 1)(x + 2)) + 8/((x - 1)(x + 4)) = 1

6/(x² + 3x + 2) + 8/(x² + 3x - 4) = 1

Сделаем замену: y = x² + 3x.

Тогда уравнение примет вид: 6/(y + 2) + 8/(y - 4) = 1

(6(y - 4) + 8(y + 2)) / ((y + 2)(y - 4)) = 1

(6y - 24 + 8y + 16) / (y² - 2y - 8) = 1

(14y - 8) / (y² - 2y - 8) = 1

14y - 8 = y² - 2y - 8

0 = y² - 16y

y(y - 16) = 0

y₁ = 0

y₂ = 16

Вернемся к замене:

x² + 3x = 0 => x(x + 3) = 0 => x₁ = 0, x₂ = -3

x² + 3x = 16 => x² + 3x - 16 = 0

D = 3² - 4 * 1 * (-16) = 9 + 64 = 73

x₃ = (-3 + √73) / 2

x₄ = (-3 - √73) / 2

Ответ: x₁ = 0, x₂ = -3, x₃ = (-3 + √73) / 2, x₄ = (-3 - √73) / 2

Ответ: См. выше решения для каждого уравнения

Молодец! Ты отлично справился с этими уравнениями. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!