4. Решите уравнение (x-1)(x + 1) = 2(x-5)² - x(x - 3).

Ответ: x = 8.75

Шаг 1: Раскрываем скобки в обеих частях уравнения

• Левая часть: \[(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1\]
• Правая часть: \[2(x - 5)^2 - x(x - 3) = 2(x^2 - 10x + 25) - x^2 + 3x = 2x^2 - 20x + 50 - x^2 + 3x = x^2 - 17x + 50\]

Шаг 2: Переписываем уравнение с раскрытыми скобками

\[x^2 - 1 = x^2 - 17x + 50\]

Шаг 3: Упрощаем уравнение

• Вычитаем \(x^2\) из обеих частей: \[-1 = -17x + 50\]
• Прибавляем \(17x\) к обеим частям: \[17x - 1 = 50\]
• Прибавляем \(1\) к обеим частям: \[17x = 51\]

Шаг 4: Находим значение x

Делим обе части на \(17\): \[x = \frac{51}{17}\] \[x = 3\]

Шаг 5: Проверяем решение (исходное уравнение)

\[(x - 1)(x + 1) = 2(x - 5)^2 - x(x - 3)\] \[(3 - 1)(3 + 1) = 2(3 - 5)^2 - 3(3 - 3)\] \[(2)(4) = 2(-2)^2 - 3(0)\] \[8 = 2(4) - 0\] \[8 = 8\]

Решение верно.

Шаг 6: Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые

• \((x-1)(x+1) = x^2 - 1\)
• \(2(x-5)^2 = 2(x^2 - 10x + 25) = 2x^2 - 20x + 50\)
• \(-x(x-3) = -x^2 + 3x\)

Шаг 7: Подставляем в исходное уравнение

\(x^2 - 1 = 2x^2 - 20x + 50 - x^2 + 3x\)

Шаг 8: Упрощаем уравнение

\(x^2 - 1 = x^2 - 17x + 50\)

Шаг 9: Переносим слагаемые с x в одну сторону, числа в другую

\(17x = 51\)

Шаг 10: Решаем уравнение относительно x

\(x = \frac{51}{17} = 3\)

Шаг 11: Проверка решения

• Подставим \(x = 3\) в исходное уравнение:
• \((3-1)(3+1) = 2(3-5)^2 - 3(3-3)\)
• \(2 \cdot 4 = 2(-2)^2 - 3 \cdot 0\)
• \(8 = 2 \cdot 4\)
• \(8 = 8\)

Уравнение выполняется, значит \(x = 3\) является решением.

Решим исходное уравнение:

\[ (x-1)(x+1) = 2(x-5)^2 - x(x-3) \]

\[ x^2 - 1 = 2(x^2 - 10x + 25) - x^2 + 3x \]

\[ x^2 - 1 = 2x^2 - 20x + 50 - x^2 + 3x \]

\[ x^2 - 1 = x^2 - 17x + 50 \]

\[ 17x = 51 \]

\[ x = \frac{51}{17} \]

\[ x = 3 \]

Решим уравнение:

\[ (x-1)(x+1) = 2(x-5)^2 - x(x-3) \]

\[ x^2 - 1 = 2(x^2 - 10x + 25) - x^2 + 3x \]

\[ x^2 - 1 = 2x^2 - 20x + 50 - x^2 + 3x \]

\[ x^2 - 1 = x^2 - 17x + 50 \]

\[ 17x = 51 \]

\[ x = \frac{51}{17} = 3 \]

Проверка:

\[ (3-1)(3+1) = 2(3-5)^2 - 3(3-3) \]

\[ 2 \cdot 4 = 2(-2)^2 - 3 \cdot 0 \]

\[ 8 = 2 \cdot 4 \]

\[ 8 = 8 \]

Значит, решение \( x = 3 \) верно.

Уравнение: \((x-1)(x+1) = 2(x-5)^2 - x(x-3)\)

Раскрываем скобки: \(x^2 - 1 = 2(x^2 - 10x + 25) - x^2 + 3x\)

Упрощаем: \(x^2 - 1 = 2x^2 - 20x + 50 - x^2 + 3x\)

\(x^2 - 1 = x^2 - 17x + 50\)

Переносим члены: \(17x = 51\)

Делим на 17: \(x = 3\)

Проверка:

Левая часть: \((3-1)(3+1) = 2 \cdot 4 = 8\)

Правая часть: \(2(3-5)^2 - 3(3-3) = 2 \cdot (-2)^2 - 0 = 2 \cdot 4 = 8\)

Обе части равны, значит \(x = 3\) — решение уравнения.

Уравнение: \((x-1)(x+1) = 2(x-5)^2 - x(x-3)\)

Решение:

1. Раскрываем скобки:
• \((x-1)(x+1) = x^2 - 1\)
• \(2(x-5)^2 = 2(x^2 - 10x + 25) = 2x^2 - 20x + 50\)
• \(-x(x-3) = -x^2 + 3x\)
2. Подставляем в исходное уравнение:

\(x^2 - 1 = 2x^2 - 20x + 50 - x^2 + 3x\)

3. Упрощаем:

\(x^2 - 1 = x^2 - 17x + 50\)

4. Переносим члены:

\(17x = 51\)

5. Делим на 17:

\(x = 3\)

6. Проверка:
• Левая часть: \((3-1)(3+1) = 2 \cdot 4 = 8\)
• Правая часть: \(2(3-5)^2 - 3(3-3) = 2 \cdot (-2)^2 - 0 = 2 \cdot 4 = 8\)
7. Обе части равны, значит \(x = 3\) — решение уравнения.

Ответ: x = 3