Решите уравнение 9x+2x² 2x+3 3x+2 x²-x-6 x-3 x+2

Решение уравнения

Давай решим уравнение по шагам:

1. Исходное уравнение:

\[\frac{9x+2x^2}{x^2-x-6} - \frac{2x+3}{x-3} = \frac{3x+2}{x+2}\]

2. Разложим знаменатель первой дроби:

Разложим квадратный трехчлен \(x^2 - x - 6\) на множители. Нужно найти два числа, которые в сумме дают -1, а в произведении -6. Это числа -3 и 2.

Значит, \(x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)\)

3. Перепишем уравнение с разложенным знаменателем:

\[\frac{9x+2x^2}{(x-3)(x+2)} - \frac{2x+3}{x-3} = \frac{3x+2}{x+2}\]

4. Приведем дроби к общему знаменателю:

Общий знаменатель: \((x-3)(x+2)\)

\[\frac{9x+2x^2}{(x-3)(x+2)} - \frac{(2x+3)(x+2)}{(x-3)(x+2)} = \frac{(3x+2)(x-3)}{(x+2)(x-3)}\]

5. Умножим числители:

\[\frac{9x+2x^2}{(x-3)(x+2)} - \frac{2x^2+4x+3x+6}{(x-3)(x+2)} = \frac{3x^2-9x+2x-6}{(x+2)(x-3)}\]

6. Упростим числители:

\[\frac{9x+2x^2}{(x-3)(x+2)} - \frac{2x^2+7x+6}{(x-3)(x+2)} = \frac{3x^2-7x-6}{(x+2)(x-3)}\]

7. Перенесем все в одну сторону:

\[\frac{9x+2x^2 - (2x^2+7x+6) - (3x^2-7x-6)}{(x-3)(x+2)} = 0\]

8. Раскроем скобки и упростим числитель:

\[\frac{9x+2x^2 - 2x^2-7x-6 - 3x^2+7x+6}{(x-3)(x+2)} = 0\] \[\frac{-3x^2+9x}{(x-3)(x+2)} = 0\]

9. Вынесем общий множитель в числителе:

\[\frac{3x(-x+3)}{(x-3)(x+2)} = 0\]

10. Заметим, что \((-x+3) = -(x-3)\):

\[\frac{-3x(x-3)}{(x-3)(x+2)} = 0\]

11. Сократим \((x-3)\):

\[\frac{-3x}{x+2} = 0\]

12. Найдем корни:

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

\[-3x = 0\] \[x = 0\]

13. Проверим ОДЗ:

Знаменатель не должен быть равен нулю, то есть \(x
eq 3\) и \(x
eq -2\). Наш корень \(x=0\) не входит в эти исключения.

Ответ: \(x = 0\)

Отлично! Ты справился с этим уравнением. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!