Решите уравнение: 1 x − 4 + 7 x+1 = 1 − 35 (x − 4)(x + 1) Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них. Если уравнение не имеет корней, оставьте поле ответа пустым. x =

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Привет! Давай решим это уравнение вместе.

Сначала перенесем все члены уравнения в левую часть:

\[\frac{1}{x-4} + \frac{7}{x+1} - 1 + \frac{35}{(x-4)(x+1)} = 0\]

Теперь приведем все дроби к общему знаменателю \[(x-4)(x+1)\]:

\[\frac{1(x+1) + 7(x-4) - 1(x-4)(x+1) + 35}{(x-4)(x+1)} = 0\]

Раскроем скобки в числителе:

\[\frac{x+1 + 7x - 28 - (x^2 -3x - 4) + 35}{(x-4)(x+1)} = 0\]

\[\frac{x+1 + 7x - 28 - x^2 + 3x + 4 + 35}{(x-4)(x+1)} = 0\]

Приведем подобные члены в числителе:

\[\frac{-x^2 + 11x + 12}{(x-4)(x+1)} = 0\]

Умножим обе части уравнения на -1:

\[\frac{x^2 - 11x - 12}{(x-4)(x+1)} = 0\]

Чтобы дробь равнялась нулю, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не должен быть равен нулю. Значит, нужно решить квадратное уравнение:

\[x^2 - 11x - 12 = 0\]

Найдем дискриминант:

\[D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 121 + 48 = 169\]

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня. Найдем их:

\[x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 13}{2} = \frac{24}{2} = 12\]

\[x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 13}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]

Теперь проверим, не обращается ли знаменатель в ноль при этих значениях x:

При x = 12: \[(12-4)(12+1) = 8 \cdot 13 = 104
eq 0\]

При x = -1: \[(-1-4)(-1+1) = -5 \cdot 0 = 0\]

Значит, x = -1 не является решением, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль.

Поэтому единственным корнем уравнения является x = 12.

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них. В данном случае у нас только один корень, поэтому он и будет ответом.

Ответ: 12