Решите уравнение: 1/(x²-2x+1) + 3/(x²-2x-7) + 1/2 = 0.

Решим уравнение:

$$ \frac{1}{x^2-2x+1} + \frac{3}{x^2-2x-7} + \frac{1}{2} = 0 $$

Заметим, что $$x^2-2x+1 = (x-1)^2$$. Обозначим $$x^2-2x = t$$, тогда уравнение примет вид:

$$ \frac{1}{t+1} + \frac{3}{t-7} + \frac{1}{2} = 0 $$

Приведем к общему знаменателю:

$$ \frac{2(t-7) + 6(t+1) + (t+1)(t-7)}{2(t+1)(t-7)} = 0 $$

Упростим числитель:

$$ \frac{2t - 14 + 6t + 6 + t^2 - 6t - 7}{2(t+1)(t-7)} = 0 $$
$$ \frac{t^2 + 2t - 15}{2(t+1)(t-7)} = 0 $$

Решим квадратное уравнение $$t^2 + 2t - 15 = 0$$:

$$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 $$
$$ t_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = 3 $$
$$ t_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 - 8}{2} = -5 $$

Вернемся к замене $$x^2-2x = t$$.

1) $$x^2 - 2x = 3$$

$$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$
$$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 $$
$$ x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 $$
$$ x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1 $$

2) $$x^2 - 2x = -5$$

$$ x^2 - 2x + 5 = 0 $$
$$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 $$

Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней.

Проверим, что корни не обращают знаменатель в ноль:

1) $$x = 3$$: $$x^2 - 2x + 1 = 9 - 6 + 1 = 4
eq 0$$, $$x^2 - 2x - 7 = 9 - 6 - 7 = -4
eq 0$$

2) $$x = -1$$: $$x^2 - 2x + 1 = 1 + 2 + 1 = 4
eq 0$$, $$x^2 - 2x - 7 = 1 + 2 - 7 = -4
eq 0$$

Таким образом, уравнение имеет два корня: 3 и -1.

x₁ = 3

x₂ = -1

Ответ: x₁ = 3, x₂ = -1