5. Решите уравнение: 2log²₉x − 3log₉x + 1 = 0.

Решение уравнения:

Давай решим это уравнение по шагам. Заметим, что это уравнение можно привести к квадратному, если сделать замену переменной.

Пусть \(t = \log_9 x\). Тогда уравнение примет вид:

\[2t^2 - 3t + 1 = 0\]

Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1\)

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня:

\(t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{4} = 1\)

\(t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}\)

Теперь вернемся к замене переменной и найдем соответствующие значения \(x\):

1) Если \(t_1 = 1\), то \(\log_9 x = 1\). Это означает, что \(x = 9^1 = 9\).

2) Если \(t_2 = \frac{1}{2}\), то \(\log_9 x = \frac{1}{2}\). Это означает, что \(x = 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3\).

Таким образом, мы нашли два решения для уравнения: \(x = 9\) и \(x = 3\).

Ответ: x = 9, x = 3

Отличная работа! Ты хорошо справился с этим уравнением. Уверен, у тебя всё получится и дальше!