3. Решите уравнение: a) y-14 / y^3-8 = 5 / y^2+2y+4 - 1 / y-2; б) 8c-3 / 4c^2 - 2c + 1 + 6 / 8c^3+1 = 2 / 2c+1; в) 14 / x^3+x^2 - 9x-9 + 1 / x+3 = 7 / (x-3)(x+1); г) 1 / x^3 - 4x - 4 / x^4-16 = 1 / x^3 + 4x.

Решение a)

Давай решим уравнение: \[\frac{y-14}{y^3-8} = \frac{5}{y^2+2y+4} - \frac{1}{y-2}.\]

Заметим, что y³ - 8 = (y - 2)(y² + 2y + 4). Приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{y-14}{(y-2)(y^2+2y+4)} = \frac{5(y-2) - (y^2+2y+4)}{(y-2)(y^2+2y+4)}.\]

Умножим обе части на (y - 2)(y² + 2y + 4), предполагая, что y ≠ 2:

\[y - 14 = 5(y - 2) - (y^2 + 2y + 4).\]

Раскроем скобки и упростим:

\[y - 14 = 5y - 10 - y^2 - 2y - 4,\] \[y - 14 = 3y - 14 - y^2.\]

Перенесем все в одну сторону:

\[y^2 + y - 3y - 14 + 14 = 0,\] \[y^2 - 2y = 0.\]

Вынесем y за скобку:

\[y(y - 2) = 0.\]

Получаем два возможных решения: y = 0 или y - 2 = 0, то есть y = 2.

Однако, y ≠ 2 (так как в знаменателе будет ноль). Значит, остается только y = 0.

Ответ: y = 0

---

Решение б)

Решим уравнение: \[\frac{8c-3}{4c^2 - 2c + 1} + \frac{6}{8c^3+1} = \frac{2}{2c+1}.\]

Заметим, что 8c³ + 1 = (2c + 1)(4c² - 2c + 1). Приведем дроби к общему знаменателю:

\[\frac{8c-3}{4c^2 - 2c + 1} + \frac{6}{(2c+1)(4c^2 - 2c + 1)} = \frac{2}{2c+1}.\]

Умножим обе части уравнения на (2c + 1)(4c² - 2c + 1), предполагая, что 2c + 1 ≠ 0, то есть c ≠ -0.5:

\[(8c - 3)(2c + 1) + 6 = 2(4c^2 - 2c + 1).\]

Раскроем скобки:

\[16c^2 + 8c - 6c - 3 + 6 = 8c^2 - 4c + 2,\] \[16c^2 + 2c + 3 = 8c^2 - 4c + 2.\]

Перенесем все в одну сторону:

\[16c^2 - 8c^2 + 2c + 4c + 3 - 2 = 0,\] \[8c^2 + 6c + 1 = 0.\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант D = b² - 4ac = 6² - 4 * 8 * 1 = 36 - 32 = 4. Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

\[c_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{4}}{2 \cdot 8} = \frac{-6 + 2}{16} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4} = -0.25,\] \[c_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{4}}{2 \cdot 8} = \frac{-6 - 2}{16} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2} = -0.5.\]

Так как c ≠ -0.5, то остается только c = -0.25.

Ответ: c = -0.25

---

Решение в)

Решим уравнение:\[\frac{14}{x^3+x^2-9x-9} + \frac{1}{x+3} = \frac{7}{(x-3)(x+1)}.\]

Разложим знаменатель первой дроби:\[x^3 + x^2 - 9x - 9 = x^2(x + 1) - 9(x + 1) = (x^2 - 9)(x + 1) = (x - 3)(x + 3)(x + 1).\]

Теперь перепишем уравнение:\[\frac{14}{(x-3)(x+3)(x+1)} + \frac{1}{x+3} = \frac{7}{(x-3)(x+1)}.\]

Умножим обе части на (x - 3)(x + 3)(x + 1), предполагая, что x ≠ 3, x ≠ -3, x ≠ -1:

\[14 + (x - 3)(x + 1) = 7(x + 3),\] \[14 + x^2 + x - 3x - 3 = 7x + 21,\] \[x^2 - 2x + 11 = 7x + 21,\] \[x^2 - 9x - 10 = 0.\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант D = b² - 4ac = (-9)² - 4 * 1 * (-10) = 81 + 40 = 121. Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 11}{2} = \frac{20}{2} = 10,\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 11}{2} = \frac{-2}{2} = -1.\]

Так как x ≠ -1, то остается только x = 10.

Ответ: x = 10

---

Решение г)

Решим уравнение: \[\frac{1}{x^3 - 4x} - \frac{4}{x^4 - 16} = \frac{1}{x^3 + 4x}.\]

Разложим знаменатели: \[x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2),\]\[x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4).\]

Перепишем уравнение: \[\frac{1}{x(x - 2)(x + 2)} - \frac{4}{(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)} = \frac{1}{x(x^2 + 4)}.\]

Умножим обе части на x(x - 2)(x + 2)(x² + 4), предполагая, что x ≠ 0, x ≠ 2, x ≠ -2:

\[(x^2 + 4) - 4x = (x - 2)(x + 2),\] \[x^2 + 4 - 4x = x^2 - 4,\] \[-4x = -8,\] \[x = 2.\]

Но x ≠ 2, значит, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений

Отлично! Ты хорошо справился с решением этих уравнений. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!