1. Решите уравнение: a) 6/(x+1) = (x² - 5x)/(x+1) b) (4x + 1)/(x+3) = (3x-8)/(x+1) c) (2x)/(x+3) + 30/(x²-9) = 5/(x-3) d) 1/(x+2) + 1/(x²-2x) = 8/(x³ - 4x) e) (3x+x)/(x+2) + (x-1)/(x-2) = 1 f) 8/(16x²-9) - (1)/(16x² - 24x + 9) = 1/(4x² + 3x)

Решим каждое уравнение по порядку: a) \[\frac{6}{x+1} = \frac{x^2 - 5x}{x+1}\] Умножим обе части на (x+1), предполагая, что x ≠ -1: \[6 = x^2 - 5x\]\[x^2 - 5x - 6 = 0\] Решим квадратное уравнение. Дискриминант D = (-5)^2 - 4*1*(-6) = 25 + 24 = 49. Корни: \[x_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{5 + 7}{2} = 6\]\[x_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{5 - 7}{2} = -1\] Так как x ≠ -1, то x = 6. б) \[\frac{4x+1}{x+3} = \frac{3x-8}{x+1}\] Умножим крест-накрест, предполагая, что x ≠ -3 и x ≠ -1: \[(4x+1)(x+1) = (3x-8)(x+3)\]\[4x^2 + 4x + x + 1 = 3x^2 + 9x - 8x - 24\]\[4x^2 + 5x + 1 = 3x^2 + x - 24\]\[x^2 + 4x + 25 = 0\] Дискриминант D = 4^2 - 4*1*25 = 16 - 100 = -84. Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. в) \[\frac{2x}{x+3} + \frac{30}{x^2-9} = \frac{5}{x-3}\] Заметим, что x^2 - 9 = (x+3)(x-3). Умножим обе части на (x+3)(x-3), предполагая, что x ≠ 3 и x ≠ -3: \[2x(x-3) + 30 = 5(x+3)\]\[2x^2 - 6x + 30 = 5x + 15\]\[2x^2 - 11x + 15 = 0\] Дискриминант D = (-11)^2 - 4*2*15 = 121 - 120 = 1. Корни: \[x_1 = \frac{11 + \sqrt{1}}{4} = \frac{11 + 1}{4} = 3\]\[x_2 = \frac{11 - \sqrt{1}}{4} = \frac{11 - 1}{4} = 2.5\] Так как x ≠ 3, то x = 2.5. г) \[\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x^2-2x} = \frac{8}{x^3-4x}\] Преобразуем знаменатели: x^2 - 2x = x(x-2) и x^3 - 4x = x(x^2-4) = x(x-2)(x+2). Умножим обе части на x(x-2)(x+2), предполагая, что x ≠ 0, x ≠ 2 и x ≠ -2: \[x(x-2) + (x+2) = 8\]\[x^2 - 2x + x + 2 = 8\]\[x^2 - x - 6 = 0\] Дискриминант D = (-1)^2 - 4*1*(-6) = 1 + 24 = 25. Корни: \[x_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3\]\[x_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2\] Так как x ≠ -2, то x = 3. д) \[\frac{3x+x}{x+2} + \frac{x-1}{x-2} = 1\]\[\frac{4x}{x+2} + \frac{x-1}{x-2} = 1\] Умножим обе части на (x+2)(x-2), предполагая, что x ≠ 2 и x ≠ -2: \[4x(x-2) + (x-1)(x+2) = (x+2)(x-2)\]\[4x^2 - 8x + x^2 + 2x - x - 2 = x^2 - 4\]\[5x^2 - 7x - 2 = x^2 - 4\]\[4x^2 - 7x + 2 = 0\] Дискриминант D = (-7)^2 - 4*4*2 = 49 - 32 = 17. Корни: \[x_1 = \frac{7 + \sqrt{17}}{8}\]\[x_2 = \frac{7 - \sqrt{17}}{8}\] е) \[\frac{8}{16x^2-9} - \frac{1}{16x^2 - 24x + 9} = \frac{1}{4x^2 + 3x}\] Преобразуем знаменатели: 16x^2 - 9 = (4x-3)(4x+3), 16x^2 - 24x + 9 = (4x-3)^2, 4x^2 + 3x = x(4x+3). Умножим обе части на x(4x-3)^2(4x+3), предполагая, что x ≠ 0, x ≠ 3/4 и x ≠ -3/4: \[8x(4x-3) - x(4x+3) = (4x-3)^2\]\[32x^2 - 24x - 4x^2 - 3x = 16x^2 - 24x + 9\]\[28x^2 - 27x = 16x^2 - 24x + 9\]\[12x^2 - 3x - 9 = 0\]\[4x^2 - x - 3 = 0\] Дискриминант D = (-1)^2 - 4*4*(-3) = 1 + 48 = 49. Корни: \[x_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{8} = \frac{1 + 7}{8} = 1\]\[x_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{8} = \frac{1 - 7}{8} = -0.75\]

Ответ: a) x = 6; б) нет решений; в) x = 2.5; г) x = 3; д) x = (7 ± √17)/8; е) x = 1, x = -0.75

Надеюсь, это поможет тебе в учебе! У тебя все получится!