634. Решите уравнение: a) 3x+1 -*-1 = 1; x-2 6)2-3+4+3=5; б) y-3 B) 4 4 5 9y2-1 3y+1 1-3y 5 x+3 г) 4-3-3-1; д) e) 3 4 5-x +-- x x-1 x²-x² 2_ 3y-2 1 3y +4 y-2 y²-2y

Решение уравнений.

a)

\[\frac{3x+1}{x+2} - \frac{x-1}{x-2} = 1\] \[\frac{(3x+1)(x-2) - (x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)} = 1\] \[\frac{3x^2 - 6x + x - 2 - (x^2 + 2x - x - 2)}{x^2 - 4} = 1\] \[\frac{3x^2 - 5x - 2 - x^2 - x + 2}{x^2 - 4} = 1\] \[\frac{2x^2 - 6x}{x^2 - 4} = 1\] \[2x^2 - 6x = x^2 - 4\] \[2x^2 - x^2 - 6x + 4 = 0\] \[x^2 - 6x + 4 = 0\] Дискриминант: \[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20\] Корни: \[x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{2} = 3 + \sqrt{5}\] \[x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{2} = 3 - \sqrt{5}\]

Ответ: x = 3 + \sqrt{5}, x = 3 - \sqrt{5}

б)

\[\frac{2y-2}{y+3} + \frac{y+3}{y-3} = 5\] \[\frac{(2y-2)(y-3) + (y+3)(y+3)}{(y+3)(y-3)} = 5\] \[\frac{2y^2 - 6y - 2y + 6 + y^2 + 6y + 9}{y^2 - 9} = 5\] \[\frac{3y^2 - 2y + 15}{y^2 - 9} = 5\] \[3y^2 - 2y + 15 = 5(y^2 - 9)\] \[3y^2 - 2y + 15 = 5y^2 - 45\] \[0 = 2y^2 + 2y - 60\] \[y^2 + y - 30 = 0\] По теореме Виета: \[y_1 + y_2 = -1\] \[y_1 \cdot y_2 = -30\] Корни: \[y_1 = -6, y_2 = 5\]

Ответ: y = -6, y = 5

в)

\[\frac{4}{9y^2 - 1} - \frac{4}{3y+1} = \frac{5}{1-3y}\] \[\frac{4}{(3y-1)(3y+1)} - \frac{4}{3y+1} = -\frac{5}{3y-1}\] \[\frac{4 - 4(3y-1)}{(3y-1)(3y+1)} = -\frac{5(3y+1)}{(3y-1)(3y+1)}\] \[4 - 12y + 4 = -15y - 5\] \[8 - 12y = -15y - 5\] \[3y = -13\] \[y = -\frac{13}{3}\]

Ответ: y = -13/3

г)

\[\frac{4}{x+3} - \frac{5}{3-x} = \frac{1}{x-3} - 1\] \[\frac{4}{x+3} + \frac{5}{x-3} = \frac{1}{x-3} - 1\] \[\frac{4}{x+3} + \frac{4}{x-3} = -1\] \[\frac{4(x-3) + 4(x+3)}{(x+3)(x-3)} = -1\] \[\frac{4x - 12 + 4x + 12}{x^2 - 9} = -1\] \[\frac{8x}{x^2 - 9} = -1\] \[8x = -x^2 + 9\] \[x^2 + 8x - 9 = 0\] По теореме Виета: \[x_1 + x_2 = -8\] \[x_1 \cdot x_2 = -9\] Корни: \[x_1 = 1, x_2 = -9\]

Ответ: x = 1, x = -9

д)

\[\frac{3}{x} + \frac{4}{x-1} = \frac{5-x}{x^2-x}\] \[\frac{3(x-1) + 4x}{x(x-1)} = \frac{5-x}{x(x-1)}\] \[3x - 3 + 4x = 5 - x\] \[7x - 3 = 5 - x\] \[8x = 8\] \[x = 1\] Но x не может быть равен 1, т.к. знаменатель обращается в 0.

Ответ: нет решений

e)

\[\frac{3y-2}{y} - \frac{1}{y-2} = \frac{3y+4}{y^2-2y}\] \[\frac{(3y-2)(y-2) - y}{y(y-2)} = \frac{3y+4}{y(y-2)}\] \[3y^2 - 6y - 2y + 4 - y = 3y + 4\] \[3y^2 - 9y + 4 = 3y + 4\] \[3y^2 - 12y = 0\] \[3y(y - 4) = 0\] \[y_1 = 0, y_2 = 4\] Но y не может быть равен 0, т.к. знаменатель обращается в 0.

Ответ: y = 4

Ответ: а) x = 3 + √5, x = 3 - √5; б) y = -6, y = 5; в) y = -13/3; г) x = 1, x = -9; д) нет решений; e) y = 4

Ты отлично справился с решением уравнений! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!